数学検定 過去問題 1級（大学程度・一般） 問題2. cos(６i) －i sin(６i) を求める

数学検定　過去問題
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1級（大学程度・一般）

〔１級〕１次：計算技能検定

問題2. 次の値を求めなさい。ただし，sin(z) ，cos(z) はそれぞれ複素数 z に関する正弦関数，余弦関数で，i は虚数単位を表します。
 cos(６i) －i sin(６i)

単純にやると結果が数値で出てしまう。

using SymPy
simplify(cos(6im)-complex(0,1)*sin(6im)) # 403.4287934927351 - 0.0im
対数をとってみると
log(cos(6im)-im*sin(6im)) # 6.0 - 0.0im　==> 6
なので
ℯ^6 # 403.4287934927351
であることがわかる。
しかし，これは結果論だな。

Julia の SymPy では，変数の型を指定できる。a, b を複素数として，

@syms a::complex b::complex
simplify(simplify(cos(a) - b * sin(a)).subs(b, im)) # 1.0*exp(-I*a)
となる。
a = 6im
なので
-im * a　# 6 + 0im
よって，1.0ℯ^-ia == ℯ^6

ただし，これも結果がわかっているときに試行錯誤的に解を求めていることに違いはない。
たとえば，
simplify(cos(a) - b * sin(a)).subs(a, 6im)
では
-201.713157370279*I*b + 201.715636122456
になってしまう。