数学検定 過去問題 準1級（高校3年程度） 問題4. 複素数

数学検定　過去問題　準1級（高校3年程度）　問題4. 複素数
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〔準１級〕１次：計算技能検定

問題4. 複素数 z = -２ - i について，次の問いに答えなさい。ただし，i は虚数単位を表します。
    (1) z の絶対値を求めなさい。
    (2) z の偏角をθとします。このとき，sin４θ の値を求めなさい。

(1)

SymPy を使わないバージョン

z = -2 - 1im　# -2 - 1im
abs(z) # 2.23606797749979
sqrt(real(z)^2 + imag(z)^2) # 2.23606797749979
real(z)^2 + imag(z)^2 # 5
よって　√5

SymPy を使って

@syms a::real b::real c::complex z::complex
z = complex(a, b) # a + ib
expr = abs(z) # √(a^2 + b^2)
expr(a => -2, b => -1) # √5

(2)

c = z^4
expand(c) |> string # a^4 + 4*I*a^3*b - 6*a^2*b^2 - 4*I*a*b^3 + b^4
実部は
(a^4 -6a^2*b^2 +b^4)(a => -2, b => -1) # -7
虚部は
4(a^3*b - a*b^3)(a => -2, b => -1) # 24
つまり -7 + 24im

以下のようにしてもよい。
c(a => -2, b => -1).evalf() |> string # "-7.0 + 24.0*I"

偏角 θ は tan(θ) = 24/(-7)
θ = atan(24/7) # 1.2870022175865687
sin(θ) # 0.96

分数の形で求めるなら，

絶対値は
abs(c)(a => -2, b => -1).evalf() # 25.0
sin(θ) は定義より，（下図を参照して） 24/25

検算
sin(atan(24/7)) - 24/25 # 0.0

using Plots
plot([0, -7, -7, 0], [0, 24, 0, 0], aspect_ratio=1)