不確定性原理とアキレスと亀

　不確定性原理とは

　量子力学における基礎的原理。原子や電子などの世界では、一つの粒子について、位置と運動量、時間とエネルギーのように互いに関係ある物理量を同時に正確に決めることは不可能であること。1927年にハイゼンベルクが提唱。

　　　

[補説］ 同時に正確に決めることができない位置と運動量、時間とエネルギーのような物理量の組み合わせを不確定性関係という。

(不確定性原理　デジタル大辞泉 )

　この不確定性関係を使った面白いパラドックスが「アキレスと亀」です。

　

画は講談社「アキレスと亀」より

　アキレスと亀

　アキレスと亀の話は有名ですから省略しますがこのパラドックスは位置と運動の関係を利用しています。

　ゼノンの説明のポイントは「スタート後、アキレスが地点Aに到達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる。」にあります。

　上の文章の「アキレスが地点Aに到達した時点に」という言葉でアキレスの動きを止めているのです。なぜなら地点Aとアキレスの位置が正確に指定できるということはアキレスが動いていないことになるからです。そこですかさず「そこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる」という言葉で、亀だけが動くように設定されています。あるいはそのように考えさせるように誘導しています。止まっているアキレスよりもほんのわずかでも動いている亀ほうが先に進んでいるのは当たり前のことです。あとはこの繰返しでアキレスは亀に無限に近づくことはできるけれど追い抜くのは不可能なのです。

　ただし、現実には「地点Aに達した時」という動いている状態での瞬間の位置は確定できませんからアキレスはそのまま亀を追い抜くだけです。

補足　エネルギー保存の法則

　運動エネルギーと位置エネルギーの関係を、振り子で見てみます。位置エネルギーは、おもりが最も高いところにきたとき最大。おもりの位置が低くなると、位置エネルギーは小さくなり、その分、運動エネルギーは大きくなります。反対の端にきたとき、運動エネルギーはゼロに。高さは左端にあったときと同じ。つまり位置エネルギーは再び最大になるのです。位置エネルギーは中央の最も低いところで最少。このとき運動エネルギーは最大となります。位置エネルギーと運動エネルギーの和を力学的エネルギーと言い、その値は常に一定。これを「力学的エネルギー保存の法則」と言います。

　

図でAを0としBを1とすると、動いている状態は0と1の間にあって揺れ動いています。0でもなければ1でもない状態ですが、0にもなり得るし1にもなり得る状態です。このように状態が時間とともに変化するという考え方が「シュレーディンガーの猫像」と呼ばれます。

ただ、「生きている状態と死んでいる状態が重なっている」との表現は、「生きてもいない状態と死んでもいない状態が重なっている」とややぼかした否定形で表現するのが正しいと思います。

シュレーディンガーの猫

　有名なパラドックスに「アキレスと亀」や「二分法のパラドックス」「飛ぶ矢」などのゼノンのパラドックスがありますが、それと関係のある「シュレーディンガーの猫」というお話です。なお物理的な記述は受け売りです。

　　

概要

オーストリアの物理学者、E＝シュレーディンガーが考案した量子力学に関する思考実験。

　ラジウムがα粒子を放出すると毒ガスが発生する装置を猫とともに箱に収め、α崩壊の半減期を経過した後に猫の生死を問うもの。

　半減期を迎えた時点でラジウム原子核が崩壊してα粒子を放出する確率は50パーセントであり、量子力学的には崩壊していない状態と崩壊している状態は1対1の重ね合わせの状態にある。

　一方、これを猫の生死と結びつけると、生きている状態と死んでいる状態を1対1の比率で重ね合わせた状態にあると解釈される。量子力学的な効果を巨視的な現象に結びつける際に生じる奇妙さを指摘したものとして知られる。

(デジタル大辞泉「シュレーディンガーの猫」の解説)

実験

箱と猫を用意する。

箱に放射性物質（ラジウムなど）を入れる 。放射性物質は完全にランダムにアルファ崩壊し、その際放出した放射線を検出する装置（ガイガーカウンター）と青酸ガス発生装置を入れる。 検出装置は青酸ガス発生装置とつながっており、もし放射性物質がアルファ崩壊した場合青酸ガスが発生し、猫は死ぬ。 猫を入れ、蓋を閉め中を観測できないようにする 。

この実験の場合、猫の生死は放射性物質のミクロな振る舞い（アルファ崩壊）にのみ決定すると仮定する。 さて、一定時間経過したら箱の中の猫は死んでいるのか生きているのかどっち？

　 この実験で箱のなかの猫は、放射性物質のアルファ崩壊という量子力学的な振る舞いにのみ生死が決定するため、観測者が箱を開けて中を観測しない限り、猫は量子力学の確率的解釈により生きている猫と死んでいる猫が1:1の重ね合わせで存在している事になる。 つまり箱の中の猫はふたを開けて観測するまで、生きてもいないし死んでもいないことになる。

　　　

　不確定性原理

「物質の位置を正確に確定しようとすると物質の速度が不確定になり、逆に物質の速度を正確に確定しようとすると物質の位置が不確定になる」という原理です。

　この「不確定性原理」により、ラジウムの波長と速度を正確には確定出来ません。その為、量子物理学では、ラジウムのアルファ崩壊の過程を正確に計算することが出来ず、アルファ崩壊が実験時間内に一つでも起こったかについて、イエス・ノーの結論は出ません。 ただ、確率的に、ラジウムのアルファ崩壊は50％起こり50％起らなかったとしか言えません。

　つまり、ある現象が起こったか起こらなかったかと言う相容れない2つが重なり合った状態として結論を表現するしかありません。

　この様に、実験に使用するラジウムの全ての粒子の波長と速度を正確に記述することが出来れば、その中で所定時間内にアルファ崩壊する粒子があるか否か計算し結論が出ます。実験後、猫は生きているか死んでいるかはっきりします。

　しかし、量子力学の手法では「不確定性原理」により、ラジウム全ての粒子の波長と速度を正確に記述することが出来ず、所定時間内に実験に使用するラジウムの中の粒子がアルファ崩壊を起こすか否かは確率でしか表現出来ません。従って、猫は50％死んでおり50％生きていると言う矛盾した結論となるのです。

　シュレーディンガーは、量子力学の確率的表現を巨視的に見ると矛盾に陥ることを「シュレーディンガーの猫」の思考実験で表現しました。

　

重ね合わせと混合

　重ね合わせと混同しがちなものとして混合状態がある。状態1と状態2を「混合した状態」の期待値は、状態1の期待値と状態2の期待値の線形結合で表せる。つまり混合をした場合は、量子的な干渉が起こらない。また干渉が起こらないような重ね合わせもあり、この場合は重ね合わせによって混合状態ができる。このことを超選択則があるという。(重ね合わせwiki)ほ

行方不明の自分

自分を発見した時、初めてその生死が確認できるのです。それまではなんとも表現できない不安の中で日々を過ごさなければならないのです。