先日の受験生への授業では、東大の入試問題を扱いました。内容は定積分に関する不等式の問題でした。定積分に関する不等式では、面積の比較により不等式を導くことがよくありますが、「定積分＝面積」のイメージで高校の授業等でも解説されることは多いのですが、今回は定積分の値を近似するために、台形の面積を用いることが主眼でした。いわゆる台形公式です。これを意識できていれば簡単ですが、生徒に聞くと、現場の授業では、ただ問題を解くためだけに終始して、台形公式などは解説されていないようでした。曲線をどう近似するかから、シンプソンの公式なども話することで復習する機会には新鮮な内容として生徒には伝えられると思います。
数値解析と言われる分野に関して、高校の数学IIIの範囲でも関連するところは少し教師側が意識すれば、見受けられます。例えば、方程式の解を近似するためのニュートン・ラフソン法、微分方程式の近似解を求めるルンゲ・クッタ法なども教師側が意識したいものです。
次回は、数学IIIの微積分の応用として、大阪大学の入試問題で、eやπの無理数性の証明を完成させる問題を考えます。一つのテーマとして、解析数論の分野でしょうが、押さえておきたいところでもあります。一つの問題の中で、高校で習う色々な分野の復習にもなる、そしてそれがある数学のテーマを扱っているという観点からも大切に扱いたいそんな問題は教師側が意識すれば、入試問題の中にもたくさんあり、まさに宝庫でもあります。大学の先生がよく考えられた問題をただ解くだけでなく、背景までも考えることで、充実した数学の授業になると考えています。
大学の３回生の時、初めて数値解析の講義で使ったのが当時担当されていた薮下信先生の「初等数値解析」でした。いまだによく利用させていただいています。
また、数値解析についての解説やπの無理数性の証明に関しては、一松信先生の「解析学序説」
に意識して書かれていたり、初等的な証明の例が紹介されていています。この本は微積分の座右の書ともいうべき本です。また、πの無理数性の証明に関して
において、小平邦彦先生が紹介されて、それまで知らなかったとも書かれています。世界的な数学者でも専門でない分野では知らないことも多くあるので、高校生も高校の先生も素朴に色々調べる中で、興味ある問題も見つけられると思います。整数論では
は色々なところでお世話になっている世界的に有名な本ですね。これも参考になる本ですね。