リーマン予想と素数の謎､その１０〜ゼータ関数の謎とガロア群のお話

　写真は､リーマンが1859年に発表した､有名な論文です。この”与えられた数より小さい素数の個数について”の論文から､現代数学が産声を上げたと言っても過言ではないでしょうか。この中にリーマンの夢が凝縮されてたんですね。
　さて､本題に入ります。前回はゼータ関数と素数公式の繋りを述べましたが。今回は”ひっつき虫”のゼータ関数についてです。　　
　オイラーを起点とし､リーマンが生み出したとされる､このゼータ関数は､幾何にも群にも引っ付くと言われてます。
　素数と全く縁のない”リーマン面”や”リーマン多様体”を､アトル•セルバーグ(1917〜2007 ノルウェー)が1950年代半ばに､これら閉じた測地線(曲面上の2点間の最短距離を結ぶ曲線)のうち､一重の奴を”素元”と考え､ゼータ関数を作ったのです(セルバーグゼータ関数)。

　これは群のゼータ関数と言われ､しかも､このセルバーグゼータ関数はリーマンの夢だったリーマン予想を満たす。
　ここで､”群”という言葉がしきりに登場しますね。 図形の対称性とは､その図形をそれ自身に移す様な合同変換の事ですが。このような合同変換全体(平行移動､回転､折返し=線対称)を”群”(group)と呼びます。

　その群は､平面上では､2×2の行列で表現され､N次元ではN×Nの行列と。つまり､対称性を研究する分野を群論といいます。
　有り体に言えば､ある演算に対し､結合法則が成立し､単位元と逆元が存在する数の集合体です。こっちの方が判り易いですかね。上で述べた合同変換の3つの移動では､結合法則が成立し､単位元と逆元が存在しますね。
　一方､幾何(algebraic)とは､空間の形式的な性質の事で､平面や歪みのない空間の図形の性質をユークリッド幾何学といい､､曲面や歪んだ空間の図形を非ユークリッド幾何学と言います。　
　つまり､ゼータ関数はこの空間(幾何)と変換(群)にも引っ付くとされる。

　また､リーマン面とは､多価関数(1つの定義域Xに対し値域Yが2つ以上)の場合､定義域を幾重の葉に分け､各葉ごとにそれぞれの値をとる関数と考える事で､普通の一価関数を考える手法との事です。
　つまり､関数の定義域をいくつも重ねて貼り合わせ､多価関数を一価関数のように扱うため､複素平面をその多価の数だけ用意し､切り貼りすると言えば判り易く､イメージとしては螺旋階段です。
　一方､リーマン多様体とは､ガウスの｢驚異の定理｣(曲面のガウス曲率が3次元空間にどの様に埋め込まれるかに依存せず､曲面上で測定される距離などの計量テンソルのみに依存する)を多様体と呼ばれる高次元空間に拡張したものです。

　そして､ゼータ関数は､以下のモノにも引っ付きます。
　前述したリーマン面やリーマン多様体や群は勿論の事。それ以外にも､環､代数多様体､スキームのゼータ関数､代数体のゼータ､ガロア表現のゼータ､離散多様体､グラフ､置換､力学系作用素､圏などのあらゆるゼータにも結びつく。
　これらの中でも代表的なのを2つ挙げると､フェルマーの定理とラングランズ予想です。前者は有名ですね。1637年にフェルマーが提起して以来､350年以上未解決でしたが､1995年に”楕円曲線”の半安定のモジュラリティ(保型形式)を証明する事で解決に至りました。　　
　一方､ラングランズ予想の方は､”ガロア表現”のゼータ関数と”保型表現”のゼータ関数を結び付ける予想です。このラングランズ予想については､非常に壮大で広範囲な予想なので､次回に回します。悪しからずです。
　因みに､ガロア表現とは､ガロア群(＝代数方程式(√を含む方程式の事)または体の拡大から定義される群＝ウィキ参照)を､判り易い線形群に埋め込む事､つまり､全て単純な行列の言葉？で表現出来る。

　ここで､少しガロア群のお話をです。
　”方程式の解の関係性”を表す､このガロア群を一言で説明する事自体､全くの無謀な訳ですが。
　｢方程式のガロア群｣(金重明著)の中で､”ガロア拡大体とは､方程式の解を全て添加した体であり､ガロア拡大体の自己同型写像の集まりがガロア群だ”とある様に。
　ガロアは､解のアルゴリズムを求めるではなく､解の構造を可換群に求める事で､5次以上の方程式では一般解が存在しない事を､導き出そうとした。　
　つまり､方程式の解の公式を求める為の道具としての群論ですね。 

　少し寄り道しましたが。再び､専門用語の解説をです。
　保型表現とは､アンリ•ポアンカレが､三角関数や楕円関数の一般化として､最初にこの”保型形式”を発見したんですが。保型表現とは､この保型形式を(アデール)代数群として表現する無限テンソル積である。
　テンソル積とは､2つの行列(ベクトル空間)の積で､N次元の行列をVとし､M次元の行列をWとすると､VとWの基底の組合せで新しく産み出される元は､全部でmn個存在する。こうして新しく生み出される空間の事。V⊗Wで記述され､ベクトル空間の積となります。

　また､体という言葉もしつこく出てきますが。ガロアがガロアであり得たのは､この体という概念にあったと言われてます。一般的に､体(field)とは可換な環(ring)であり､体の拡大とは､部分体(sub extension)に対し､上の体(拡大体=field extension)の事をいいます。　　
　平ぺったく言えば､四則演算が許される数の集合。つまり､体の”元”同士で四則演算をし､得られた数がその体に含まれてる様な数の集合です。”四則演算で閉じてる”と言うんですかね。例えば､自然数の集合は体ではなく(引き算が負になる時)､整数も体ではないですね(割り算が割り切れない時)。つまり､有理数も実数も複素数の世界も”体”となります。
　また､方程式の全ての解を含んだ拡大体を､特別に”ガロア拡大体”とよびます。このガロア拡大体こそがガロア群に結び付き､”方程式を代数的に解く”事を完全に解明した。

　また代数多様体とは､多変数の連立多項式の解集合として定義される図形であり､離散多様体(＝離散空間)とは､頂点と辺からなる空間で､グラフのような物でしょうか。

　環(ring)の定義について。
　和に対し可換群(aの単位元が0､逆元が−a)であり､積に対し結合法則と単位元(=1)が､積と和に対し分配法則が成立する数の集合。
　つまり､(a+b)+c=a+(b+c)､a+b=b+a､(ab)c=a(bc)､1a=a1=1､a(b+c)=ab+ac､だけの事なんですが(悲)。
　この環という構造の持つ遍在性は､代数化の動きの中心原理として働く事になるのですから､無視できない。
　その群•環•体の関係ですが。ある性質を満たす代数系を”群”と呼び､その中で更に特定の性質を満たすものを”環”と。環の中で更に特定の性質を満たすものを”体”。
　つまり､”群⊃環⊃体”となりますが。

　要するに､フェルマー予想もラングランズ予想も､ゼータ関数がベースとなってるという事で今日は終了です。