”バーゼル”の難関に挑んだ3人の男たち〜猿でも解る？バーゼル問題”その２”

　昨日の｢その1｣では､”バーゼル問題”の起源と歴史と､その難関に最初に挑んだヤコブとヨハンを始めとしたベルヌイ一家の苦難を紹介しました。
　そして今日は､このバーゼルの壁に果敢に挑んだ3人の数学者を紹介したいと思います。　
　昨日とは異なり､いきなりハードルが高くなりますが､悪しからずです。

ダニエルとゴールドバハ

　スイスのバーゼル在住のベルヌイ一族の長であるヤコブの努力も虚しく､その解決を一族や地元の数学者たちに託した為､”バーゼル問題”と呼ばれた。
　バーゼル問題に関しては､多くの優れた解説がありますが､ポリア及びヴェイユ､ダンハムの著書を参照にした､｢バーゼル問題とオイラー｣(杉本敏夫､2007､PDF版)から一部抜粋して説明します。

　現代では､望遠鏡の鏡筒の畳込みに似た､長い級数の隣り合う項同士が互いに帳消になる”望遠鏡級数”の和をTとすると､
T=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+･･･=(1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+(1/4−1/5)+(1/5−1/6)･･･=1となる。
　そこでTとQを項目別に比較判定すると､1/4<1/2､1/9<1/6､1/16<1/12､1/25<1/20､1/36<1/30､､､から､Q<1+T=2が導き出せる。
　これは､Q=1+1/2²+1/3²+･･･<1+1/1･2+1/2･3+･･･=1+(1−1/2)+(1/2−1/3)+･･･=2､とした方が判り易いですかね。
　ヤコブは｢無限級数の扱い｣の中で､上の”比較判定法”を用いて､逆平方数の級数Q<2を証明します。つまり､この級数の無限和が収束し､かつ2よりも小さい事までは何とか漕ぎ着けました。

　ヤコプの甥でヨハンの2男のダニエル(1700−82)は､ヤコブの死後23年の1728年に”Q〜8/5”を与え､同年にクリスチアン•ゴルドバハ(独､1690−1764)は､”41/25<Q<5/3”を与えたとされます。
　事実､これを確かめる為に､Qを様々に変形し計算してみます(各値は元のQに等しい)。
　Q₁=(1+Q)−T=1+(1−1/2)+(1/2)(1/2−1/3)+(1/3)(1/3−1/4)+･･･=1+1/1･1･2+1/2･2･3+1/3･3･4+1/4･4･5+･･･=1+1/2+1/12+1/36+1/80+･･･､
　Q₂=(1+Q)−T=2+(1/2)(1/2−1)+(1/3)(1/3−1/2)+(1/4)(1/4−1/3)+･･･=2-1/1･ 2･2−1/2･3･3−1/3･4･4−1/4･5•5−･･･=2−1/4−1/18−1/48−1/100−･･･､
　Q₃=(1/2)(Q₁+Q₂)=(1/2)(3+1²･2²+1/2²･3²+1/3²･4²+1/4²･5²･･･)=1/6+1/8+1/72+1/288+1/800+･･･､
　Q₄=(1/3)(Q₂+2Q₃)
=5/3−0−(1/3²)･(1/2²)−(1/4²)･(2/3²)−(1/5²)･(3/4²)−(1/6²)･(4/5²)−･･･=5/3−1/36−2/144−3/400−4/900−･･･､
　Q₅=(1/5)(2Q₃+3Q₄)=(1/5)(Q₁+2Q₂+2Q₃)
=8/5+1/5･1²･2²+1/5･2²･3²−1/5･3²･4²−2/5･4²･5²−3/5･5²･6²−･･･=8/5+1/20−1/720−1/1000−1/1500−･･･､

　そこで､収束の速さを比較する為､各級数の初めの5項までの和を比較すると､Q₁=1.623611･･･､Q₂=1.663611･･･､Q₃=1.643611･･･､Q₄=1.6175･･･､Q₅=1.647611･･･､
　すると､Q₃とQ₅の値はQに比較的近く､しかもQ₄<Q₁<Q₃<Q<Q₅<Q₂の関係にある。
　故に､Q₅の初項8/5はダニエルの､Q₄の初項5/3はゴルドバハの右辺の根拠であるが､ゴルドバハの左辺41/25は､もう少し複雑なQの変形である事が解る。
　昔の偉大な数学者たちは､様々に級数を変形する事で(気の遠くなる様な試行錯誤の結果)､Qの値の近似を(ヘビが真綿を締め付ける様ににして)求めていったんですよね。

スターリングの差分法

　ダニエルやゴールドバハ以外で､オイラーと同時代の数学者もこの超難関の”バーゼル問題”に取り組んだ。
　ジェームス･スターリング(英､1692−1770､イラスト)の｢差分法､又は総和と補間の論考｣(1730)の”差分法”は､そのいい例である。
　A/(x(x+1))+B/(x(x+1)(x+2))+C/(x(x+1)(x+2)(x+3))+･･･=A/x+B/(2x(x+1))+C/(3x(x+1)(x+2))+･･･という命題(差分法)をまず証明します。
　スターリングは､逆平方数の級数Qを求める為に､差分法と関連付け､級数を巧妙に変形しました。
　即ち､Qの級数を途中まではまともに計算し､或る項の1/u²から後の項の和をP(u)と置いた。
　このP(u)これを求める為､補助変数a,b,c,d...をa=1/u､b=a/(u+1)､c=2b/(u+2)､d=3c/(u+3)､､､の関係式で定めれば､後の項の和P(u)は(上の命題を使えば)､”加速式”P(u)=a+b/2+c/3+d/4+･･･を得る事を証明します。
　これは､先述した級数Qの様々な変形にも似た､巧妙な技巧による賜物でもある。

　実際に数値例として､Q(12)=1+1/4+1/9+･･･+1/144=1.5946976638までは普通に計算する。
　これに､後の項の和P(13)=1/169+((1/169)/14)/2+(2((1/169)/14)/15)/3+•••=0.079957427を加え､Q=1.644934065を示した。
　結果の先取りではあるが､Q=π²/6=1.644934067であるから､スターリングが計算した値は少数点以下8位まで一致し､オイラーの少数以下11位に次ぐ､非常に精度の高い値でもあったんですね。
　勿論､項数を増やせばそれだけ計算もややこしくなるが､精度も高くなる。故に､スターリングのこの近似値こそが､バーゼル問題攻略の一刺しになったと言えなくもない。

　逆平方数級数の近似値として､初めて？精密な値を弾き出したスターリングですが､同時代のオイラーにとっては大きな刺激になった事は間違いないですかね。
　確かに､1928年のダニエルやゴールドバッハの近似値である8/5(=1.6)や41/25(1.64)~5/3(1.666･･･)とは一線を画す程の精度の高さでもある。
　ただ､スターリングはバーゼル問題の精密な値を求めたが､バーゼル問題の素性そのものを突き止めたオイラーは､やはり群を抜いてたと言わざる終えません。

　珍しく短いんですが､キリのいい所で今日はお終いです。
　まだ”バーゼル問題”の序盤戦を紹介しただけですが､ヤコブ･ベルヌイと弟のヨハンに始まり､その甥のダニエルや同世代のゴールドバハ､それに(ダニエルの友人で大学の後輩でもある)オイラーと同世代のスターリングらの偉大な数学者たちも､既にこの難関に取り組んでたんですね。
　つまり”誰でも解る”というのは､嘘でもあり本当でもあり､バーゼル問題を攻略するには､ヘビの様な獰猛な考察と真綿を締付ける様な洞察力とが求められるという事ですね。

　次回は､オイラーによるバーゼル問題の深くて重い4つの考察について述べたいと思います。