11/15(日) 高３理系物理（最終回）

昨年の4月から続けてきた授業も今日で最終回。
最近この授業の記事更新してなかったけど、９月からずっと磁場と交流回路をやってました。
最後になった今日のテーマは交流回路の解析。



まず、Ｒ・Ｌ・Ｃ の直列回路の説明をして、共振について話をした。
次に、Ｒ・Ｌ・Ｃ の並列回路の説明をして、問題を解いてもらった。
最後に、ＬやＣのエネルギーの話をして、電気振動について説明した。

キリよく終われて良かった。
１年８ヶ月にわたってたのしく数学と物理の授業ができて、自分自身としてもためになったし、有意義な時間を過ごせたと思う。
ありがとう。
受験頑張ってくださいね。

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7/18(土) 高3理系数学

確率の2回目。

１．条件付確率の練習（続き）
２．事後確率（原因の確率）とベイズの定理
３．事象の独立と排反

「事後確率」では、ある結果が生じたときに、その原因を探ります。
例えば、ある製品を2つの工場でつくっているとしましょう。
その2つの工場でつくられた大量の製品の山から1つを取り出したところ、不良品だったとします。
その不良品がいったいどちらの工場でつくられたものなのか？
これが事後確率です。

事象を以下のようにおきます。
事象A：工場Aでつくられた
事象B：工場Bでつくられた
事象E：不良品である
A∩E：工場Aでつくられた不良品である
B∩E：工場Bでつくられた不良品である

今求めたいのは、
P(A|E)：取り出した製品が不良品だったときそれが工場Aでつくられていた確率
P(B|E)：取り出した製品が不良品だったときそれが工場Bでつくられていた確率
で、これらは以下のように求められます。

P(A|E) ＝ P(A∩E)/P(E) ＝ P(A)P(E|A)/P(A∩E)+P(B∩E)
P(B|E) ＝ P(B∩E)/P(E) ＝ P(B)P(E|B)/P(A∩E)+P(B∩E)

この考え方を一般化したものが「ベイズの定理」です。


それから、「独立」と「排反」は、混同している人が意外と多そうな感じですね。
2つの事象AとBを考えたとき、

A∩B＝φ すなわち P(A∩B)＝0 のとき AとBは 排反 であるという。
P(A|B)=P(A) かつ P(B|A)=P(B) のとき AとBは 独立 であるという。

排反 は 和事象の確率を求める加法定理に影響します。
一般には、P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)　ですが、
排反なら、P(A∪B)＝P(A)＋P(B)　となります。

独立 は 積事象の確率を求める乗法定理に影響します。
一般には、P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B) ですが、
独立なら、P(A∩B)＝P(A)P(B) となります。

「排反」のイメージは、2つの事象が同時に起こらないということ。
「独立」のイメージは、2つの事象がお互いに影響をおよぼさないということ。

そして、「排反」と「独立」はまったく別の概念である事に注意しなければいけません。

以下の全てのパターンがありえます。
＊ 排反 であるが、 独立 でない
＊ 独立 であるが、 排反 でない
＊ 排反 でも 独立 でもない
＊ 排反 でも 独立 でもある
ただし、4番目のパターンは特殊です。
排反であることから P(A∩B)＝0 であり、
独立であることから P(A∩B)＝P(A)P(B)＝0 なので、
P(A)とP(B)の少なくとも一方が0でなければなりません。

逆に言うと、P(A)もP(B)も0でない場合、「排反」でもあり「独立」でもあるということはありえないのです。

集合論とか確率論は、数学ではあるけど、計算と言うよりは日本語がむつかしいですね。

7/11(土) 高３理系数学

久しぶりの授業。
しばらく確率をやります。
なんか、条件付き確率を学校でやってないみたいなんで。

条件付き確率とは、『事象Aが起こったという条件の下で事象Bの起こる確率』で、P(B|A) と書かれる。

人物A、人物Bの順でくじを引く場合、

「AもBも当たる確率」は、P(A∩B)
「Aが当たったときBが当たる確率」は、P(B|A)

となります。
要は、前者はAもBもこれから引くという状況で、2人ともあたる確率。
後者はAはすでに引き終わっていて当たっているという状況で、Bが当たる確率。

うーん、日本語は難しいですね。

6/14(日) 高３物理

数学が一段落ついたので、しばらく電磁気をやろうと思う。

１．電荷とは？
２．クーロン力
３．電場
４．電気力線
５．ガウスの法則（途中まで）

電磁気は、力学よりもさらに抽象性が高いので、いかにイメージを持てるかが大切。
しっかりイメージを持ってもらえたらと思う。
次回はガウスの法則の続きと、電位の話をする予定。

4/25(土) 高3理系数学

本日の内容は以下の通り。

０．交流回路の基礎についてのテスト（物理）
１．定積分表示関数
２．区分求積法

このへんは、なんか数式がごちゃごちゃしてる感じがあって、とっつきにくいんよねぇ。苦手な人多いし…。
でも大事なところやから、しっかり理解し解かなあかんのやけどね。
一生懸命説明したけど、わかりやすかったかなぁ。
少しでも理解が進んだのなら、嬉しいんやけどね。

4/11(土) 物理（回路理論） 最終回

しばらく続けてきた回路理論の勉強も今日で一区切り。
内容は以下の通り。

１．抵抗R，コイルL，コンデンサC の 式の復習と「インピーダンス」の定義

R については、　E＝ R * I
L については、　E＝ jωL * I　　　　が成立。
C については、 E＝ 1/(jωC) * I

これらの式において、Iにかかっている、
R，jωL，1/(jωC)
のことを、インピーダンスという。

２．抵抗Rに交流電圧をかける問題
３．コイルLに交流電圧をかける問題
４．コンデンサCに交流電圧をかける問題

５．RLC直列共振回路について

RLC直列回路では、LのインピーダンスとCのインピーダンスが等しくなるとき、
回路全体としてのインピーダンスが最小となる。
このときの周波数を「共振周波数」といい、
2πfL＝1/(2πfC) ⇔ 4 π^2 f^2 LC ＝ 1 ⇔ f ＝ 1/( 2π√(LC) )
で与えられる。
共振周波数ではインピーダンスが最小なので、電流の振幅が最大となる。
AMラジオの受信器はこの原理を利用している。


まだやりたいこともあるのだが、とりあえずこのくらいで。
次回からは、また数学へ戻って、定積分をやろうと思う。

4/4(土) 物理（回路理論）３回目

回路理論３回目。
あと２回くらいで終われるかなぁ。

まず、ループ解析とホイートストーンブリッジのミニテスト。
その後続きを。

＜複素数（続き）＞
１．直角座標表示　←→　極座標表示 の変換練習
２．極座標表示における複素数の積・商
（大きさは積・商，偏角は和・差になる）
３．jをかける or jでわる ことの図形的な意味
※ jは虚数単位。回路理論では、電流との混同を防ぐ為に j を用いる。
※ jをかけることは、複素平面上で90度回転に相当。すなわち位相が90度進む。
※ jでわることは、複素平面上で－90度回転に相当。すなわち位相が90度遅れる。

＜交流回路＞
１．抵抗Ｒ・コイルＬ・コンデンサＣ の図記号と式
E = R * I
E = jωL * I
E = (1/jωC) * I

本日はここまで。
次回は、再度、抵抗・コイル・コンデンサを復習した上で、いよいよRとLとCの含まれた回路を解きたい。

3/27(金) 物理(回路理論)２回目

回路理論の２回目。

＜直流回路の続き＞
１．ループ解析の復習
２．ホイートストーンブリッジとその応用

＜交流の基礎事項＞
３．正弦波交流電圧の基本式（ V = Vm sin (ωt) = Vm sin (2πft) )
（振幅・周波数・周期・角周波数について説明し、図示できるようにする）
４．位相と位相差
５．実効値

＜複素数について＞
６．複素数の直角座標表示( Z = a+jb )と複素数平面
７．大きさ・偏角と複素数の極座標表示( Z = |Z|∠θ )

複素数についての説明の途中で終わった。
次回は続きからやろうと思う。

3/24(火) 物理（回路理論）

理系数学の時間であるが、これから数回は物理をやることにした。
内容は回路理論。
１回目の本日は直流回路。

１．電位・電圧・電流 とは？
２．直流と交流
３．直列と並列
４．電源（電圧源と電流源）
５．抵抗とオームの法則
６．合成抵抗
７．キルヒホッフの法則
８．ループ解析（キルヒホッフの電圧則で回路網を解く）

１．～６．は中学の内容にすこし補足をした感じで、簡単なのだが、
丁寧に説明したらかなり時間をつかってしまった。
メインディッシュは７．と８．である。

次回はループ解析の復習からはじめ、ホイートストーンブリッジにふれた後、
交流回路を学ぶ準備として、複素数平面について話をしたい。

3/2(月) 高２理系数学

2/21(土)の振り替えで授業。

まず、1次変換の小テスト。
１次変換の基本、合成変換と逆変換、不動点、不動直線、２次曲線の変換 などをまんべんなく出題した。５０分間のテスト。
できたかなぁ。

授業は先回の続き。
部分積分を復習し、先回最後に説明した同形出現タイプの問題を練習してもらう。
その後、積分の漸化式を使う意義を説明して、例題を解説して、問題を解いてもらったところでちょうど時間が来た。
部分積分は難しいので、習熟が必要。

次回は、半角公式や積和公式を用いた三角関数の積分 と 部分分数分解を用いた分数関数の積分 を教える予定。

2/28(土) 高2理系数学

試験明け初回。

本日の内容は以下の通り。
１．置換積分の復習
２．部分積分の公式と適用
３．２回部分積分を要する問題
４．置換積分と部分積分を両方要する問題
５．部分積分すると自分自身が出てくる問題

まあ、要するに「部分積分」がメインテーマ。
で、部分積分の公式じたいは、積の微分法を変形しただけなのでシンプルだが、
計算がひたすらややこしい。
とにかく部分積分という手法に慣れること。
そして、落ち着いて計算することでミスを極力減らすこと。
早い者競争ではないのだから、これが重要である。

2/7(土) 高２理系数学

まず、行列を用いた２次曲線の回転を復習し、それをもとにして２次曲線の標準化と、行列の固有値・固有ベクトルの関係について簡単に話をしてみた。
難しい内容だけど、興味深い内容だとは思うし、将来、線形代数を学ぶときの基礎付けになればと思ってね…。

さて、授業はいよいよ不定積分へ。

１．不定積分の公式（べき関数・指数関数・sin・cos など)
２．置換積分

１．については微分の逆演算なので、基本的には、微分をきちんと理解できているのならば苦労しないはず。但し、sin と cos は慣れるまで（慣れても）符号のミスが多発するので要注意なのだが。
２．は山場か。数学Ⅲの不定積分は、数学Ⅱと何が違うかというと、一つはべき関数いがいにもいろんな関数が出てくること。もう一つは「置換積分」と「部分積分」があること。
「置換積分」は微分の世界では「合成関数の微分法」に、「部分積分」は微分の世界では「積の微分法」に相当する。
個人的には、これら２つの積分手法を身につけることが、数学Ⅲの不定積分における最大の目標であると考えているため、ぜひともこれらを徹底的に定着してもらえるように努力していきたい。

次週は、置換積分の復習からはじめて、部分積分へ。

1/31(土) 高２理系数学

本日のテーマは、「２次曲線の１次変換」。これだけ。
やることは簡単なのだ。

① 与えられた方程式をベクトル・行列を用いて表記
　　a x^2 + 2b xy + c y^2 + d x + e y = f
を、
　　( x y ) ( a b ) ( x ) + ( d e ) ( x ) = f
　　　　　　( b c ) ( y )　　　　　 ( y )
の形にする。
② 変換行列から逆変換して、
　　　( x y ) や　( x )
　　　　　　　　　 ( y )
を ( X Y ) あるいは ( X ) の式で表す。
　　　　　　　　　　　 ( Y )
③ ②でつくった式を、①でつくった式へ代入して、XとYの式を得る。
④ Xをxに、Yをyに置き換えて完了！

高等学校学習指導要領（数学）への意見

高等学校学習指導要領の改訂案に対する意見を文部科学省が募集しているので、わたしも送った。
以下にその意見を掲載するので、読者諸氏に思うところがあれば、ぜひコメントをください。
※ 長文で読みづらくすみません。4000字近くあります。


意見要約：高等学校数学科について大きく５つの意見
１）行列の消滅は憂慮すべき事態
線形代数の基礎となる重要単元なので現行より強化することはあっても、軽減あるいは削除することはありえない。
２）微分積分学偏重からの脱却を
「代数・幾何」時代のように線形数学の扱いを強化して欲しい。
３）科目構成にまとまりを。科目名もわかりやすく。
「数学１」とか「数学Ａ」というような科目名では内容が伝わらない。なぜベクトルと数列が同一科目になっているのか？
４）空間ベクトルでは、直線・平面・球のベクトル方程式まで教えるべき
５）数学３の不定積分において、“変数分離型1階線形微分方程式”の復活を強く
望む。
※ 最後に以上の内容をふまえた対案（私案）を示しています。


意見：
高等学校数学科の学習指導要領について、大きく５つの意見を述べます。
１）行列の消滅は憂慮すべき事態
今回の改訂で数学Ｃがなくなり、「式と曲線」や「統計」は数学Ｂや数学３への
移行という形になりましたが、「行列」が単元ごと消えてしまいました。
この単元は、数学の諸分野の中でも重要性が高く、応用範囲も広い線形代数の基礎となる単元なので、これは憂うべき事態と考えます。
高校で行列の基礎を学んでいる現在の大学生の中でも、線形代数を苦手としている者が多くいるのが現状ですが、これが高等学校において全く行列を学習せず、大学において抽象度の高い線形代数をいきなり学ぶとなれば、ますます状況が悪化することが容易に予想されます。
高等学校においては、行列の基本的な計算と応用（連立1次方程式や線形変換）を、2×2行列まででもよいので習熟させることを強く望みます。
２）微分積分偏重からの脱却を
前課程からのことですが、高校の数学のカリキュラムは微分積分（解析学）偏重であると考えます。数学３の極限・微分・積分を最終地点として、そこへつながる科目が数学１や数学２に優先的に配置され、そこからあぶれた場合の数・確率・統計・数列・ベクトル・行列などの線形代数学・統計学・離散数学は数学Ａあるいは数学Ｂの選択科目に成り下がっています。これはいかがなものでしょうか。
たとえば、昭和５３年の課程では、科目「代数・幾何」が設けられ、ベクトルと
行列がしっかりと教えられていました。しかし、次改訂においてベクトルは数学Ｂの行列は数学Ｃの選択科目になり下がり、今改訂では行列が姿を消そうとしています。
３）科目構成にまとまりを
これも前課程からのことですが、科目の構成にまとまりがなく雑然としています。たとえば、ベクトルと行列は数学Ｂに位置づけられていますが、なぜこれらが同一科目にされているのでしょうか。
また、科目名の「数学１」や「数学Ａ」などを見ても、内容が全く伝わってきません。
このような雑然・混沌としたカリキュラムでは、学習者は整理された知識・技能を定着させることが難しいと考えます。
昭和５３年の課程においては、基礎となる「数学１」（数と式・方程式と不等式・関数（2次関数・分数関数・無理関数）・図形（三角比・図形と方程式））、解析学の基礎を学ぶ「基礎解析」（数列・指数関数・対数関数・三角関数・関数値の変化（微分と積分の基礎））、主に線形代数を学ぶ「代数・幾何」（2次曲線・平面ベクトル・行列・空間図形）、確率と統計を学ぶ「確率・統計」（資料の整理・場合の数・確率・確率分布・統計的推測）、微分積分学を学ぶ「微分・積分」（極限・微分法・積分法）というように、整った科目構成となっていました。また、科目名を見れば即座に内容を知ることができます。
学習者が整理された知識を定着させるために、この課程を今一度見直していただくことを強く願います。
４）空間ベクトルでは直線・平面・球まで扱って欲しい
現課程（数学Ｂ）においては、空間ベクトルにおいて、3次元空間における“直線・平面・球のベクトル方程式”ならびに“直交座標における方程式”については扱っていません。
（これらの内容は、「代数・幾何」時代には扱われていました）
これはあまりにお粗末であると考えます。なんのために空間ベクトルを教えているのでしょうか。2次元において行ったのと同じ式が3次元以上でも通用するというのがベクトルを用いる良さであると考えます。そのことを実感するためには、空間図形の（ベクトル）方程式は不可欠な題材であると思います。
今回の改訂でこれらの扱いがどうなるのかは、示された改訂案から知ることができませんでしたが、ぜひとも空間図形の（ベクトル）方程式が再度盛り込まれることを切望いたします。
５）微分方程式の復活を
数学３においては、かつて数学Ｂで教えられていた複素数平面が復活し、定積分においては曲線の長さが扱えるようになったということで、これらの点については大変喜ばしく思います。
しかし、微分方程式は消えたままなのでしょうか。
先に挙げた線形代数と同様に、微分方程式は広い分野において必要となる重要なものであると考えます。勿論高等学校において微分方程式を扱うことは基本的に難しいと思いますが、「変数分離型の1階線形微分方程式」であれば、数学３で習う不定積分の知識があれば比較的簡単に解けますので、これを使って微分方程式の考え方を教えることが可能であると考えます。
実際に、かつての科目「微分・積分」においては、この内容を教えていたものと存じております。
ぜひとも微分方程式の復活をお願いいたします。


以上の点をふまえて、対案（私案）を示したいと思います。

私案は以下の科目で構成されます。
１．基礎数学（5単位、3～4単位への減単可）
２．基礎解析（3単位）
３．微分・積分（3単位）
４．代数・幾何１（2～3単位）
５．代数・幾何２（2～3単位）
６．統計（2単位）

たとえば以下のような履修を考えます。
１年次：基礎数学　５単位
２年次文系：基礎解析＋代数・幾何１　　３～６単位
２年次理系：基礎解析＋代数・幾何１＋統計(前半)　６～７単位　
３年次文系：統計（＋基礎解析＋代数・幾何１）　２～４単位
３年次理系：微分・積分＋代数・幾何２＋統計(後半)　６～７単位

各科目の内容は以下の通りです。

科目「基礎数学」（5単位，1年次向け）
１）数と式（数と集合・命題・整数(約数と倍数を含む)・有理数・実数・整式・展開と因数分解・1次不等式）
２）2次関数・2次方程式・2次不等式
３）いろいろな式（整式の除法・分数式の計算・等式や不等式の証明・複素数と2次方程式・因数定理と高次方程式）
４）三角比（定義と性質・正弦定理・余弦定理など）
５）場合の数と確率（和の法則・積の法則・順列・組合せ・確率の基本法則・独立試行の確率・条件付き確率）

科目「基礎数学」（4単位への減単版）
１）数と式（数と集合・命題・整数(約数と倍数を含む)・有理数・実数・整式・展開と因数分解・1次不等式）
２）2次関数・2次方程式・2次不等式
４）三角比（定義と性質・正弦定理・余弦定理など）
５）場合の数と確率（和の法則・積の法則・順列・組合せ・確率の基本法則・独立試行の確率・条件付き確率）

科目「基礎解析」（3単位，2年次向け）
１）数列（等差数列・等比数列・漸化式・数学的帰納法）
２）指数関数・対数関数・三角関数
３）関数値の変化（現行数学２で扱っている微分積分）

科目「代数・幾何１」（2～3単位，2年次向け）
１）図形と方程式（直線・円・軌跡・領域）
２）平面ベクトル（定義と演算・内積・直線や円のベクトル方程式）
３）空間図形（空間における点や座標・空間ベクトル・直線の方程式・平面の方程式・球の方程式）

科目「統計」（2単位，2～3年次向け）
１）データの分析（分散・標準偏差・相関）
２）確率分布と統計的推測（確率変数と確率分布・二項分布・正規分布・母集団と標本・母平均の統計的推測）

科目「微分・積分」（3単位，3年次向け）
１）極限（無限数列の極限・無限等比級数の和・関数の極限）
２）微分法（現行数学３で扱っている微分法）
３）積分法（現行数学３で扱っている積分法＋微分方程式＋曲線の長さ）

科目「代数・幾何２」（2～3単位，3年次向け）
１）行列（定義と演算・逆行列と連立1次方程式・線形変換と写像）
２）複素数平面（定義と様々な応用・ドモアブルの定理）
３）2次曲線（楕円・双曲線・放物線）

1/10(土) 高２理系数学 その８

５．点の移動
(3) 変換行列とうつる点 → もとの点


今回はこれにて終了。
次回は、以下の内容をやる予定。

５．点の移動　(4)不動点問題
６．図形の移動
(1) 解く流れ
(2) 直線の場合
(3) 不動直線問題
(4) 円の場合
(5) ２次曲線の場合