述語命題は術語の定義に使え！

物（もの）は試しとして、

　ものさし：「ものさしは直線を引ける」
　ものさしじゃない：「ものさしは直線を引けない」

と“定義”してみるとしよう！

どうして、この二つの文章が完璧な定義になっているかと言えば、実は、「ものさしは直線を引ける」のがものさしであって「ものさしは直線を引けない」ものはものさしじゃない、という一つの関係代名詞文が成立するからです。

ものさしをＲとしたら

　Ｒ：「Ｒは直線を引ける」
　￢Ｒ：「Ｒは直線を引けない」

というようにゲーデル命題を矛盾しないように戻したような文（レーブ文）に近い仕上がりになります。この場合にも出てくるのが「Ｒと￢Ｒとが矛盾していないで一つの定義文として成り立っているように読める」という実情なんです。

Ｒと￢Ｒとが両方成立しているから数学は論理学によって裏付けられながらも漸進的（progressive）な学問で有り得るのだと思われました！

論理学では命題Ｐが有れば「Ｐ⇒Ｐ」だけが無矛盾でありますから数学のように「Ｐ⇒Ｑ」のように漸進していく展開が無矛盾だというのは不可解だったのです。おそらく数学の根底には矛盾が横たわっているのではないかという予想が、かの京大闘争中に小針あきひろ氏によって提案されていましたが、私ことbuturikyouyikuによれば「それは正しい（That's right.）」として証明されたもようです。当ブログの読者に京都大学関係者がおられましたら冥福を祈られると共に祝杯を挙げて欲しいように存じました・・。

知人の理科教師（とはいっても阪大理学部生物科卒）もかつて「小針というのは天才なんだよね？」と真顔で述べていましたが、私としたら内心では「いや、天才だったのはフィールズ広中の方だろう・・」と思っていたものですから、真意を測りかねて面白半分になま返事をしていましたのですが、まさか、15年以上も経て自分で実感する仕事をしようとも思っておりませんでした、ははは・・。

このように定義文形式でユークリッドの幾何公準が書かれるとしたら「公理の数は要素と同数だけ必要」ということにリアリティーが出てきます。

　延長線「任意の直線は両側にいくらでも延長できる」
　延長線じゃない「任意の直線は両側の延長に制限がある」

　コンパス「任意の中心と半径で円を描ける」
　コンパスじゃない「任意の中心と半径では円を描けない」

　直角「二直角は直線になる」
　直角じゃない「二直角は直線にならない」

　平面「平行線角が直角である」
　平面じゃない「平行線角が直角でない」

こうして【ユークリッド幾何学の五つの公準】を“最初に矛盾する様式”で描き表すことが出来ました。ゲーデルによるさまざまな業績の結論のすべてが「水泡に帰するというよりも一瞬にして困難が氷解する」感覚が得られる奇跡のような日はなんとも穏やかな日常の中であまりにもあっけなく訪れたことを報告いたします。