スクープ！！！「教科書流の解き方では矛盾する」と判明しました・・・

まず、こんどこそマチガイだと判明した“標準的解答”を再録することから始めましょうね！

［標準的解答］棒の長さを２Ｌとして、棒に加わっている重力を２Ｗとします。さらに棒と壁とが接している点をＡ点として、棒と床とが接している点をＢ点とします。Ａ点から棒に加わる垂直抗力をＦ1とし、Ｂ点における床と棒との間に加わる摩擦力をＦ2とすると、剛体に加わる水平方向の力のつり合いからＦ1＝Ｆ2＝Ｆです。また、同じく垂直方向の力のつり合いからＢ点において棒に加わる垂直抗力は棒の重量である２Ｗに等しいでしょう。

この場合、棒を横にすべらせる力に一致するのはＡ点におけるＦ1であり、Ｂ点におけるＦ2は静止摩擦力ですから、困ったことにはＦ1＞Ｆ2になったときに棒が動くはずなのです。

するとＢ点を中心とした力のモーメントがつり合わなくたった際には棒は壁から離れて逆回転しなければなりません！

これだけでも教科書流の解き方は間違っていることがわかりますでしょう？

ひょっとしたら最初に解いた先生が「立てかけた梯子に足を乗せたら手前に倒れかけてきた」というような生活実感に根ざして答えを出したのかもしれません・・。しかし、それは梯子の一段目に足を乗せて体重を掛けたときに、前斜めになった階段に(乗せた足が階段を水平にする向きに動くために)梯子がこちら向きに回転するモーメントを与えるのが原因なのですから、まったくこの問題とおなじ状況ではございません・・。

そこで問題を改題することにしました。

《問題》なめらかな壁に片方の端に質量ｍの大きさが無視できる重りが付いていて他の質量を無視できる棒が立てかけてあります。重りの付いている方が壁とＡ点で接しているとして、棒と壁のなす角度がθになったときに棒が床にすべり落ちました。棒と床はＢ点で接していて摩擦があり、静止摩擦係数をμで表すことにします。μの値をθを用いて表しなさい。

この場合に重りの質量ｍによる重力ｍｇのすべては、Ａ点において壁を垂直に(観測者からみれば水平に)押す力ｍｇtanθと棒を斜め下に押し下げる力ｍｇ/cosθに分けられて、後者は、棒を伝わって点Ｂにおいて床を垂直に(鉛直に)押す力ｍｇと、棒を水平にすべらせる向きの(水平な)力ｍｇtanθに分けられます。Ａ点では壁が棒を押しかえす力ｍｇtanθによってつり合いますし、Ｂ点では垂直抗力がｍｇと静止摩擦力ｍｇtanθによってつり合います。

以上より、μ＝ｍｇtanθ÷ｍｇ＝tanθになりますし、極端な条件でおなじなのですから質量分布に関わらず静止摩擦係数はtanθだというのが私の結論になりました！

(さすがは【摩擦角】というだけのことがあったのだ・・、やったぜ、ブラボー・・)