微分解析学の基礎部分について（第三回）

ｙ＝sinｘ　とすれば　ｄｙ＝sin(ｘ＋ｄｘ)－sinｘ＝sinｘ(cosｄｘ－１）＋cosｘsinｄｘ　であるｗ）

このｄｙの初項だけをｄｘで割ることを考えると　

sinｘ(cosｄｘ－１）/ｄｘ＝sinｘ(cosｄｘ－cos０）/ｄｘ＝sinｘcos'０＝０

ここにcos'０＝０は余弦関数のグラフの図形的特徴を使わせていただいた・・。

で、ゆえに初項は無視して差支えなく　ｄｙ/ｄｘ＝cosｘsinｄｘ/ｄｘ→cosｘ

標準解析において　lim.(x→0)sinｘ/ｘ＝１　なのは良く知られているが、このことの“本当の証明”というのはなかなかに厄介な代物なんだそうなので割愛させていただきますとして、三角関数の多項式展開ということでショーかね、それにしても、そこには三角関数の導関数の結果が必要だったのではナイカシラン、良く知らないがｗ）

で、ｄcosｘ/ｄｘ＝｛cos(ｘ＋ｄｘ)－cosｘ｝/ｄｘ

分母＝cosｘcosｄｘ－sinｘsinｄｘ－cosｘ＝cosｘ(cosｄｘ－１)－sinｘsinｄｘ

先程と同じく初項は無視できるので

ｄcosｘ/ｄｘ＝－sinｘsinｄｘ/ｄｘ→－sinｘ＿＿＿＿＿（２）

さらに【微分解析学】においては　ｄ^2ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋ｄｘ)－２ｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ－ｄｘ)　であるｗ）

ｙ＝sinｘ　ならば　ｄ^2ｙ＝sin(ｘ＋ｄｘ)－２sinｘ＋sin(ｘ－ｄｘ)

ｄ^2ｙ/ｄｘ^2＝｛２sinｘ(cosｄｘ－１)｝/ｄｘ^2　（言うまでもなくここも加法定理を使って整理した）

（２）の結果より、この値は　→－sinｘ　のはずであるから、

（cosｄｘ－１）/ｄｘ^2→－１/２　でなければならない！

この結果は「余弦関数の　ｘ＝０近傍　は　ｙ＝１－ｘ^2/２　で近似される」ことを示しており、大変に興味深い副産物であるｗ）