トーラスについて１ ～その媒介変数表示と第Ⅰ基本量・第２基本量・平均曲率・ガウス曲率

２０２４年１０月２４日（木）

 

　トーラスS¹×S¹について、総合的に考えて見るのが、本ブログの趣旨である。併せて、古典的な微分幾何学

の曲面論の展開の仕方を確認したいという気持ちもある。次の２つに分けて考える。

　　トーラスについて１　～そのと第Ⅰ基本量・第２基本量・平均曲率・ガウス曲率

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２０２４年１０月２４日）　　本ブログ

　　トーラスについて２　～その体積と表面積　　　（２０２４年１０月２６日）

　その１では、トーラスのまず媒介変数表示をしてから、第Ⅰ基本量・第２基本量・平均曲率・ガウス曲率に

つて考える。これらの概念は、トーラスに限らずに曲面論の基礎的な概念である。周知の通り、古典的な微分

幾何学は曲線論では大きな成功を収めたが、曲面論では十分な成果が得られなかった。微分可能な多様体論や

現代微分幾何学を待たねばならなかった。

　とりあえず、古典的な微分幾何学の方法で、トーラスについて基本的な性質等を示していきたい。

 

　まず、第Ⅰ基本量・第２基本量・平均曲率・ガウス曲率などを求めるために、まずトーラスの媒介変数表示

をしてみよう。このトーラスの媒介変数表示は、その２の体積・表面積を求めるときにも必要になる。

 

 

 

 

 

 

 

ちょっと休憩

（１）１０月２２日（火）のFacebook投稿より

　学びの記録

　今週は週２回、岐阜学習センターに出かけることにしています。今日と２５日（金）１４時からの「お

もしろ物理」サークルへの参加のためです。２５日は、午前中は視聴覚スペースでの自習のためです。

　今日、朝７時３０分頃に出かけ、OKBふれあい会館には８時３０分頃に到着しました。岐阜学習センター

に行って、３０分ほど時間があったので、ロビーで自販機のインスタントコーヒーを飲んで休息していま

した。

　９時ちょうどになったので、視聴覚スペースに入室しました。『教育社会学概論’19』の提出する通信

課題と提出の義務のない発展問題を１０時１０分頃まで解きました。２者択一の問題がそれぞれ１０問と

９問の出題です。抽象的な問題文の出題が多くて、印刷教材を読み直してもう一度解く必要性を感じまし

た。２７日にやり直そうと思います。

　１０時１０分頃から１０分間、ロビーで休息してから再び視聴覚スペースに入室しました。学位授与機

構の１２月１５日の試験対策として、レポートの見直しをしていました。特に、１変数関数の微分積分を

使って球の表面積を求める問題の部分を学習しました。球の表面積の求め方だけでは力がつかないので、

４次元球体の体積V⁴とその境界である３次元球面S³の表面積で、確認しました。

　　V⁴＝V²×(２π/4)×r²=πr²×(２π/4)×r²＝(1/2)π²r⁴　

　表面積は、rで微分して

　　S³＝d｛(1/2)π²r⁴｝/dr＝2π²r³

となることを確認しました。１１時４０分頃まで、その他のことも含めて微分積分の復習をしていました。

　学生控え室で昼食をとった後、再び視聴覚スペースに入室しました。少々学習に疲れたので、全く履修

科目と関係ない魚住孝至先生の

　　『おくのほそ道』の真髄〜芭蕉自筆本に基づく新研究〜

を視聴していました。数十年前に芭蕉自筆本が発見され、これによって『おくのほそ道』について多くの

新事実が発見されました。以前にも視聴したことがありましたが、簡単に言えば紀行文でないということ

です。俳句も旅の後に改変されたり付け加えられた句があります。本文も推敲されて、編集されています。

芭蕉は、文学として完成させることを目指していたのかも知れません。

　１３時ちょうどに岐阜学習センターを後にして、岐阜県庁に向かいました。県庁２階の情報公開関係の

部署を訪れました。教員採用試験の一部の問題と県教委の一部の職員の名簿をコピーしてもらうためです。

これらは情報公開請求がいりません。教員採用試験の1次試験はホームページ上に公開されますが、2次試

験は公開されません。適当に選択して、ブログに載せたいと思います。

　帰宅したのは、１５時頃でした。

 

（２）衆議院議員選挙の期日前投票を済ませる

　１０月２１日（月）に海津市医師会病院でインフルエンザの予防接種を受けた後、海津市役所に出かけた。

そこで、衆議院議員選挙の期日前投票を済ませる。最高裁判所の裁判官の国民審査は、全く予備知識がなかっ

たので白紙で投票した。