特別な「複素双軸トーラス」とは？

　前回で、数式に関する説明は終了したのですが、具体的に空間がどのように変化したのかについては、なかなか理解出来ないですよね。

　今回は、２種類の図面で視覚で感じていただくために、図１を用意しました。どちらも本質的には９０°回転と１８０°の反転の操作ですので、自分で球面（ボール等球形のもの）に８個の番号を打って試してみると良く理解できるはずです。


図１：左列が実軸複素空間、右列が虚軸複素空間（Ⅰ～Ⅳと①～④は、左下図の表と裏の関係）。変換は軸も空間も不揃いですが法則性もありそうです。


　さて、前回にトーラス（ドーナツ型）についての予告をしていましたので、このトーラスと「反対側の複素空間」がどのように関連しているのか、について書き進んでいきます。

　最もありふれたトーラスは、円（周）の外側に回転軸を置き、そのとき得られる回転体、いわゆる「ドーナツ型」です。数学的説明では難しそうですが、私たちが「ドーナツ」と言っている食べ物のことです。トポロジー（位相幾何学といいます）的な意味でのトーラスは、ユークリッド幾何学的にはきわめて多様な図形です。

　今回は、その中でもよく知られたドーナツ型のトーラスを用いて、「反対側の複素空間」の謎について図形を交えながら書いていく予定です。まずは、下の図１を見てください。とてもきれいなトーラスで、見ているだけで気分が良くなりそうです。この図には赤・青・緑の線が渦を巻きながら運動しているように描かれています。

　この図に示されている、美しい三色の線はトーラス面の周りをそれぞれ回っているのですが、よく見るとお互いが交差してはいません。普通の平面に例えるなら、平行の位置に在るとも言えます。
　メビウスの帯のことはご存じだと思いますが、この下の図のトーラスも条件を整えることで、メビウスの帯と同じ構造になります。すなはち、３色の線が内側の空間を１回通り抜けることで、それぞれの線はトーラス平面上を２周して元の位置に戻っています。
　このトーラスの性質は、重要ですので、覚えておいてください。


図２：トーラスはメビウスの帯と同じ性質を持っている。

　では、今から今回の本題に入っていきます。


最初に同じ形のトーラスを用意します（図３）。そしてこのトーラスは横と縦に配置します。


図３:二つのトーラス

　図３のトーラスは一般のトーラスとは少し異なっています。それは、このトーラスの中心部が直径の１／３になっている点です。なぜこの様なトーラスを準備したかというと、この二つを合体させた時にぴったりと隙間無く合体させることが出来るからです（図４右）。


図４:双対貫通トーラス

　上の図４は、左右両方とも、対同士が同じ大きさのトーラスを二つが垂直に交わるように組み立てたものです。しかし、右のトーラス対に関して、垂直に交わること以外は、不可能で在ることがわかります。そういった意味で、この対は特別なのです（ここでは双軸トーラスにしておきます）。

　今回は、ここで終了しますが、次回からはこの双軸トーラスが「オイラーの公式」及び「マツイの公式」と関わってくることになります。

　双軸トーラスの左側が「オイラー」なら右側が「マツイ」です。皆さんも一緒に考えてみてください。

　ここで忘れてはならないことは「双軸トーラス」だからこそ、宇宙の時空構造が見えてくるということを？