クイズ～ビリヤードの玉～

最近、森博嗣さんのＳ＆Ｍシリーズを読んでいます。
シリーズ２作目の「冷たい密室と博士たち」が僕には少々退屈で、
読むのに苦労しましたが、
３作目の「笑わない数学者」は面白かったです。一気に読みました。
現在４作目の「詩的私的ジャック」を読んでいます。面白いです。
萌絵がとても好きになってきました。よかった。今後も楽しめそうです。

さてクイズですが、「笑わない数学者」に出てきた問題です。
これを解いてもネタバレにはならないと思います。
みなさん読んでみてください。

一度フックンと一緒に考えて、解いたことがあるんですが、
忘れちゃいました。もう一度解こうとすると解けませんでした。
さあ、解けますか？

問題
ビリヤードの玉（１から１５の数字が書いてある玉）を使います。
５個選んで円形に並べます。
書いてある数字を足して、１から２１までのすべての数字を表すことを考えます。
どのような並べ方になるでしょう。
玉は隣り合ったものしか足すことができません。
隣り合ったものなら、複数（２～５個）足すことができます。
もちろん単数も可です。
おそらく回転、左右の入れ替えを除けば一意に定まったはずです。

以前解いた時はうまいこといったせいで、５分程で解けてしまいましたが、
今は３０分かけても解けませんでした。

追記
まつに感謝、すっきりしました。
しょうせいの論理的な解答はこちら⇒しょうせいの考え