算額（その887）
六十四 加須市不動岡 総願寺 慶応二丙寅(1866)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
長方形内に菱形 1 個，甲円 4 個，乙円 2 個，丙円 2 個を入れる。長方形の長辺と短辺が 15 寸，14 寸のとき，甲円の直径はいかほどか。
長方形の長辺と短辺を 2a, 2b
甲円の半径と中心座標を r1, (a - r2, b - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, b - r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (a - r3, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms a::positive, b::positive,
r1::positive, r2::positive, r3::positive
@syms a, b, r1, r2, r3
eq1 = (r1 - r3)^2 + (b - r1)^2 - (r1 + r3)^2 |> expand
eq2 = (a - r1)^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2 |> expand
eq3 = dist2(a - 2r3, 0, 0, b - 2r2, a - r1, b - r1, r1);
eq1, eq2 を連立させて r2，r3 を求めると，それぞれは a と r1，b と r2 を含む式になる。
res = solve([eq1, eq2], (r2, r3))
res[r2] |> factor |> println
res[r3] |> factor |> println
(-a + r1)^2/(4*r1)
(-b + r1)^2/(4*r1)
r2, r3 を eq3 に代入し，因子分析する。
eq13 = eq3(r2 => (-a + r1)^2/(4*r1), r3 => (-b + r1)^2/(4*r1))
eq13 |> factor
eq13 = 0 となるのは，分子の 4 項のいずれかが 0 になればよい。
eq13 |> factor |> numerator |> println
(-a*b - a*r1 - b*r1 + r1^2)*(-a*b + a*r1 + b*r1 + r1^2)*(a*b - 3*a*r1 - b*r1 + r1^2)*(a*b - a*r1 - 3*b*r1 + r1^2)
それぞれの項 = 0 を解いて r1 を求め，図形の条件を満たすものを探索すると，
-a*b + a*r1 + b*r1 + r1^2 = 0 を解いた 2 つの解のうちの r1 = -(a + b - sqrt(a^2 + 6*a*b + b^2))/2 が適解である（ほかの 7 個の解はすべて不適）。
res2 = solve(-a*b + a*r1 + b*r1 + r1^2, r1);
res2[2] |> factor |> println
res2[2] |> factor |> display
-(a + b - sqrt(a^2 + 6*a*b + b^2))/2
r1 = (sqrt(a^2 + 6*a*b + b^2) - a - b)/2 を (r1 - a)^2/4r1，(r1 - b)^2/4r1 に代入すれば r2, r3 が求まる。
数式は複雑で SymPy では簡約化できないが，数値としては簡単に求まる。
res_r2 = res[r2](r1 => (sqrt(a^2 + 6*a*b + b^2) - a - b)/2) |> factor |> display
res_r3 = res[r3](r1 => (sqrt(a^2 + 6*a*b + b^2) - a - b)/2) |> factor |> display
まとめると，r1, r2, r3 は a, b を用いて以下のように計算される。
r1 = (sqrt(a^2 + 6a*b + b^2) - a - b)/2
r2 = (a - r1)^2/4r1
r3 = (b - r1)^2/4r1
長方形の長辺 2a，短辺 2b が 15, 14 のとき，甲円の直径は 6 である。
なお，計算された r1 の値が 2r1 > a または 2r1 > b になると不適切な図になる。
a = 7.5
b = 7
sqrt(a^2 + 6a*b + b^2) - a - b |> println
6.0
function draw(a, b, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
# (a, b) から (r1, r2, r3) を計算する
r1 = (sqrt(a^2 + 6a*b + b^2) - a - b)/2
if 2r1 > a || 2r1 > b
println("不適切な図になります")
return
end
r2 = (a - r1)^2/4r1
r3 = (b - r1)^2/4r1
@printf("長方形の長辺，短辺が %g, %g のとき，甲円の直径は %g である\n", 2a, 2b, 2r1)
@printf("a = %g; b = %g; r1 = %g; r2 = %g; r3 = %g\n", a, b, r1, r2, r3)
plot([a, a, -a, -a, a], [-b, b, b, -b, -b], color=:blue, lw=0.5)
plot!([0, a - 2r3, 0, 2r3 - a, 0], [2r2 - b, 0, b - 2r2, 0, 2r2 - b], color=:orange, lw=0.5)
circle4(a - r1, b - r1, r1, :green)
circle22(0, b - r2, r2)
circle2(a - r3, 0, r3, :magenta)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, b, " b", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(a - r1, b - r1, "甲円:r1,(a-r1,b-r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
point(0, b - r2, "乙円:r2\n(0,b-r2)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(a - r3, 0, "丙円:r3\n(a-r3,0)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
end
end;
長方形の長辺，短辺が 24.69, 20.222 のとき，甲円の直径は 9.22291 である
a = 12.345; b = 10.111; r1 = 4.61145; r2 = 3.24235; r3 = 1.63967
