算額（その887）

算額（その887）

六四 加須市不動岡 総願寺 慶応2年(1866)
埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.
キーワード：円8個，正方形，菱形
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

長方形内に菱形 1 個，甲円 4 個，乙円 2 個，丙円 2 個を入れる。長方形の長辺と短辺が 15 寸，14 寸のとき，甲円の直径はいかほどか。

長方形の長辺と短辺を 2a, 2b
甲円の半径と中心座標を r1, (a - r2, b - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, b - r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (a - r3, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive,
     r1::positive, r2::positive, r3::positive
#@syms a, b, r1, r2, r3
eq1 = (r1 - r3)^2 + (b - r1)^2 - (r1 + r3)^2
eq2 = (a - r1)^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq3 = dist2(a - 2r3, 0, 0, b - 2r2, a - r1, b - r1, r1);

1.　三元連立方程式を解く

7 組の解が得られるが，最初のもののみが適解である。

なお，解を求める順番の指定が必須である。solve([eq1, eq2, eq3], (r1, r2, r3)) とすると，有限の時間ないには解が得られないようだ。

res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, r3, r1))[1];  # 1 of 7

r2

res[1] |> display

r3

res[2] |> display

r1

res[3] |> display

実際に数値解を求めるには，一時変数を定義すれば若干簡単になる。
長辺，短辺が 2a = 15 寸，2b = 14 寸のとき，甲円，乙円，丙円の直径 d1,d2,d3 は以下のようになる。

(a, b) = (Sym(15)/2, Sym(14)/2)
t = sqrt(a^2 + 6a*b + b^2)
u = (a + b)t - 4a*b
v = a^2 - b^2
d1 = t - a - b
d2 = (u + v)/4b
d3 = (u - v)/4a
(d1, d2, d3)

   (6, 27/8, 8/3)

なお，次項に示すように，r2, r3 と r1 の関係式を用いれば，d1 を求めた後に d2, d3 を求めてもよい。

d2 = (a - d1/2)^2/d1

d3 = (b - d1/2)^2/d1

長方形の長辺，短辺が 15 寸, 14 寸のとき，甲円の直径は 6 寸である。
なお，乙円，丙円の直径はそれぞれ 27/8 寸，8/3 寸である。

2.　別解

まず，eq1, eq2 を連立方程式として r2, r3 を求める。
r2, r3 は以下のように，r1 を用いて表すことができる。

res2 = solve([eq1, eq2], (r2, r3));

r2

res2[r2] |> factor |> display

r3

res2[r3] |> factor |> display

eq3 にこれらを代入し r1 について解く。

7 通りの解が得られるが，下記のものが唯一の適解である。

r1

solve(eq3(r2 => res2[r2], r3 => res2[r3]), r1)[1] # 1 of 7

まとめると，長辺，短辺が 2a，2b のとき，甲円，乙円，丙円の半径 r1, r2, r3 は以下の通りである。
r1 = (sqrt(a^2 + 6*a*b + b^2) - a - b)/2
r2 = (a - r1)^2/4r1
r3 = (b - r1)^2/4r1

3.　考察

r1 は，a, b から計算されるが，a, b にどんな値を与えても良いものではない。
r1 = (sqrt(a^2 + 6*a*b + b^2) - a - b)/2

計算される r1 が，2r1 > a または 2r1 > b となる場合は，不適切解になる（解はない）。

function draw(a, b, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = (sqrt(a^2 + 6*a*b + b^2) - a - b)/2
   if 2r1 > a || 2r1 > b
       println("不適切な図になります")
       return
   end
   r2 = (a - r1)^2/4r1
   r3 = (b - r1)^2/4r1
   @printf("長方形の長辺，短辺が %g, %g のとき，甲円の直径は %g である\n", 2a, 2b, 2r1)
   @printf("a = %g;  b = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g\n", a, b, r1, r2, r3)
   plot([a, a, -a, -a, a], [-b, b, b, -b, -b], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([0, a - 2r3, 0, 2r3 - a, 0], [2r2 - b, 0, b - 2r2, 0, 2r2 - b], color=:orange, lw=0.5)
   circle4(a - r1, b - r1, r1, :green)
   circle22(0, b - r2, r2)
   circle2(a - r3, 0, r3, :magenta)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, b, " b", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a - r1, b - r1, "甲円:r1,(a-r1,b-r1)", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, b - r2, "乙円:r2\n(0,b-r2)", :red, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(a - r3, 0, "丙円:r3\n(a-r3,0)", :magenta, :center, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

draw(15/2, 14/2, true)