算額（その1106）

算額（その1106）

百四 岩手県大船渡市田茂山 根城八幡宮 天保12年(1841)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円4個，斜線，直線上

直線上に 1 個の小円を挟んで 2 個の大円が載り，その3円に外接して大円 1 個が載っている。小円の直径が与えられたとき，大円の直径を求めよ。

大円の半径と中心座標を r1, (x1, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (0, r2)
斜線の端点の座標を (0, 0), (x1, y1)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms r1::positive, x1::positive, y1::positive, r2::positive
eq1 = x1^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = dist2(0, 0, x1, y1, 0, 2r2 + r1, r1)
eq3 = dist2(0, 0, x1, y1, x1, r1, r1)
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, x1, y1))[1]

   (r2*(-1 + sqrt(17))/2, r2*sqrt(-2 + 2*sqrt(17)), r2 + sqrt(17)*r2)

大円の半径 r1 は，小円の半径の (√17 - 1)/2 倍である。
「術」は「置四個二分五厘開平方内減八分余乗小円径」と書いているが，「八分」ではなく「五分」の誤記（山村の誤読？）である。「四個二分五厘」は 17/4 なので，√(17/4) - 1/2 = (√17 - 1)/2 である。

小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は (√17 - 1)/2 = 1.5615528128088303 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。

  r2 = 0.5;  r1 = 0.780776;  x1 = 1.24962;  y1 = 2.56155

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   (r1, x1, y1) = (r2*(-1 + sqrt(17))/2, r2*sqrt(-2 + 2*sqrt(17)), r2 + sqrt(17)*r2)
   @printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
   @printf("r2 = %g;  r1 = %g;  x1 = %g;  y1 = %g\n", r2, r1, x1, y1)
   plot([-x1, 0, x1], [y1, 0, y1], color=:green, lw=0.5)
   circle(0, 2r2 + r1, r1)
   circle2(x1, r1, r1)
   circle(0, r2, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x1, r1, "大円:r1,(x1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, 2r2 + r1, "大円:r1,(0,2r2+r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r2, "小円:r2\n(0,r2)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(x1, y1, " (x1,y1)", :green, :left, :vcenter)
   end
end;