算額（その1109）

算額（その1109）

四十一 岩手県一関市牧沢 牧沢八幡神社 明治8年(1875)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円5個，外円，弦

全円の中に弦を引き，その上下に 4 個の等円を容れる。等円の直径が 1 寸のとき，全円の直径はいかほどか。

注：弦の傾斜をどのようにしようとも，弦の上下（両側）は対称，すなわち弦は全円の直径であり，弦の傾斜はどのようにしても同じ図形になる（図を回転すれば弦は水平にできる）。弦を水平にすれば，4 個の等円はそれぞれが x 軸，y 軸に接する。

全円の半径と中心座標を R, (0, 0)
第一象限にある等円の半径と中心座標を r, (r1, r1)
とおき，以下の方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms R::positive, r::positive
eq1 = 2r^2 - (R - r)^2
res = solve(eq1, R)[1]
res |> println

   r*(1 + sqrt(2))

全円の半径 R は等円の半径 r の 1 + √2 倍である。
等円の直径が 1 寸のとき，全円の直径は 2.414213562373095 寸である。

「答」には「全円の径二寸六分一厘八毛有奇」とあり，「術」には「置一ケ二分5厘開平方余加一ケ五分乗等径得全円径」とある。
つまり，等円の径を √1.25 + 1.5 = 2.618033988749895 倍すれば全円径が得られるというのだが，山村もなんの疑問も呈していない。
山村とわたし，どちらが間違っているのか?

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r = 1/2
   R = r*(1 + √2)
   @printf("等円の直径が %g のとき，全円の直径は %g である。\n", 2r, 2R)
   plot()
   circle(0, 0, R)
   rotate(√2r*cosd(67.5), √2r*sind(67.5), r, :blue, angle=90)
   segment(R*cosd(22.5), R*sind(22.5), R*cosd(202.5), R*sind(202.5), :green)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(√2r*cosd(67.5), √2r*sind(67.5), "等円:r", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(R, 0, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

算額（その1108）

算額（その1108）

三十七　岩手県一関市 一関八幡神社後額 天保9年(1838)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円7個，正方形，斜線4本

正方形の中に 4 本の斜線を引き，隙間に甲円 3 個，乙円 4 個を容れる。乙円の直径が 1 寸のとき，甲円の直径はいかほどか。

正方形の一辺の長さを a，斜線と正方形の一辺の交点座標を（a - b, 0), (a, b)
甲円の半径と中心座標を r1, (a - r1, r1), (a/2, a/2), (r1, a - r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms a::positive, b::positive,
     r1::positive, r2::positive, x2::positive
eq1 = dist2(0, 0, a, b, a - r1, r1, r1)
eq2 = dist2(0, 0, a, b, x2, r2, r2)
eq3 = dist2(0, 0, a, b, a/2, a/2, r1)
eq4 = dist2(a - b, 0, a, a, x2, r2, r2);

eq1, eq2 をとき，a, b を求める。

res = solve([eq1, eq2], (a, b))[1]

   (r1*(r2 + x2)/r2, 2*r1*x2/(-r2 + x2))

上で求めた a, b を eq3, eq4 の a, b に代入し簡約化する。

eq13 = eq3(a => res[1], b => res[2]) |> simplify |> numerator |> (x -> x/r1^4);
eq14 = eq4(a => res[1], b => res[2]) |> simplify |> numerator |> (x -> x/(r1^2*(r2 + x2))) |> simplify;

eq13, eq14 をとき，r1, x2 を求める

res2 = solve([eq13, eq14], (r1, x2))[3]  # 3 of 6

   ((2*r2*sqrt(13860*2^(5/6) + 19601*2^(1/3)) + 21*2^(5/6)*r2*sqrt(140*2^(1/6) + 99*2^(2/3)) + 30*2^(1/3)*r2*sqrt(140*2^(1/6) + 99*2^(2/3)))/(14*2^(5/6)*sqrt(140*2^(1/6) + 99*2^(2/3)) + 20*2^(1/3)*sqrt(140*2^(1/6) + 99*2^(2/3))), r2*(1 + 2/(2*sqrt(2) + 4)^(1/3) + (2*sqrt(2) + 4)^(1/3)))

r1 の式は簡約化できる。x2 も簡約化できるが式が複雑なので，定数を求める。

@syms d
res2[1] |> simplify |> (x -> x/r2) |> (x -> apart(x, d)) |> println
#= r1 = r2*2 =#

   2

甲円の半径は乙円の半径の 2 倍である。
図を描いてみると，b は a/2 より少し大きい。

res2[2]/r2 |> (x -> apart(x, d)) |> simplify |> N |> println
#= x2 = r2*3.9513730355914416 =#

   3.9513730355914416

r2 = 1/2
r1 = 2r2
x2 = 3.9513730355914416r2
a = r1*(r2 + x2)/r2
b = 2*r1*x2/(-r2 + x2)
(r1, x2, a, b)

   (1.0, 1.9756865177957208, 4.951373035591441, 2.67765069880406)

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   r1 = 2r2
   x2 = 3.9513730355914416r2
   a = r1*(r2 + x2)/r2
   b = 2*r1*x2/(-r2 + x2)
   @printf("乙円の直径が %g のとき，甲円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
   @printf("r2 = %g;  a = %g;  b = %g;  r1 = %g;  x2 = %g\n", r2, a, b, r1, x2)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:magenta, lw=0.5)
   plot!([b, 0, a], [a, 0, b], color=:green, lw=0.5)
   plot!([0, a, a - b], [a - b, a, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(r1, a - r1, r1)
   circle(a/2, a/2, r1)
   circle(a - r1, r1, r1)
   circle(x2, r2, r2, :blue)
   circle(a - r2, a - x2, r2, :blue)
   circle(a - x2, a - r2, r2, :blue)
   circle(r2, x2, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a/2, a/2, "甲円:r1,(a/2,a/2)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(a - r1, r1, "甲円:r1,(a-r1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, r2, "乙円:r2\n(x2,r2)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(b, a, "(b,a)", :magenta, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(a - b, 0, "(a-b,0)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
       point(a, b, " (a,b)", :magenta, :left, :vcenter)
       point(0, a - b, "(0,a-b)", :magenta, :center, :bottom, delta=2delta)
       plot!(xlims=(-5delta, a + 5delta), ylims=(-5delta, a + 2delta))
   end
end;