算額（その1105）

算額（その1105）

百四 岩手県大船渡市田茂山 根城八幡宮 天保12年(1841)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：楕円6個，正六角形

正六角形の中に等楕円を 6 個容れる。楕円の長径・短径が与えられたとき，正六角形の一辺の長さを求めよ。

計算式を簡単にするため，図形を時計方向に 30° 回転させたもので考える。x 軸上に長径を持つ楕円について以下のように記号を定める。
正六角形の一辺の長さを R
楕円の長半径，短半径，中心座標を a, b, (x0, 0)
隣の楕円との接点，正三角形の一辺との接点の座標を (x1, y1), (x2, y2); y1 = √3(R - x1), y2 = √3x2/3
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, R::positive, x0::positive,
     x1::positive, y1::positive, x2::positive, y2::positive
y1 = √Sym(3)*(R - x1)
y2 = √Sym(3)*x2/3
eq1 = (x1 - x0)^2/a^2 + y1^2/b^2 - 1
eq2 = -b^2*(x1 - x0)/(a^2*y1) + √Sym(3)
eq3 = (x2 - x0)^2/a^2 + y2^2/b^2 - 1
eq4 = -b^2*(x2 - x0)/(a^2*y2) - 1/√Sym(3);
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (R, x0, x1, x2))[2]

   ((a^2 + 3*b^2 + sqrt(9*a^4 + 30*a^2*b^2 + 9*b^4)/3)/sqrt(a^2 + 3*b^2), sqrt(a^2 + 3*b^2), (a^2*sqrt(9*a^4 + 30*a^2*b^2 + 9*b^4) + (a^2 + 3*b^2)*(3*a^2 + b^2))/(sqrt(a^2 + 3*b^2)*(3*a^2 + b^2)), 3*b^2/sqrt(a^2 + 3*b^2))

各パラメータは以下のように簡約化して求めることができる。

t  = a^2 + 3b^2
u  = 3a^2 + b^2
x0 = sqrt(t)
R  = x0 + sqrt(u/3)
x1 = (a^2*sqrt(3t*u) + t*u)/(x0*u)
x2 = 3b^2/x0;

楕円の長径・短径が 10，7 のとき，正六角形の一辺の長さは sqrt((10/2)^2 + 3(7/2)^2) + sqrt((10/2)^2 + (7/2)^2/3) = 13.251013385205335 である。

sqrt((10/2)^2 + 3(7/2)^2) + sqrt((10/2)^2 + (7/2)^2/3) |> println

   13.251013385205335

その他のパラメータは以下のとおりである。

   a = 5;  b = 3.5;  x0 = 7.85812;  R = 13.251;  x1 = 12.4938;  x2 = 4.67669

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (a, b) = (10, 7)./2
   t = a^2 + 3b^2
   u = 3a^2 + b^2
   x0 = sqrt(t)
   R = x0 + sqrt(u/3)
   R = sqrt(a^2 + 3b^2) + sqrt(a^2 + b^2/3)
   x1 = (a^2*sqrt(3t*u) + t*u)/(x0*u)
   x2 = 3b^2/x0
   y1 = √3(R - x1)
   y2 = √3x2/3
   @printf("楕円の長径・短径が %g, %g のとき，正六角形の一辺の長さは %g である。\n", 2a, 2b, R)
   @printf("a = %g;  b = %g;  x0 = %g;  R = %g;  x1 = %g;  x2 = %g\n", a, b, x0, R, x1, x2)
   θ = 0:60:420
   x = @. R*cosd(θ)
   y = @. R*sind(θ)
   plot()
   circle(0, 0, R)
   for i = 1:6
       ellipse(x0*cosd(60(i)), x0*sind(60(i)), a, b, φ=60(i), color=:green)
       segment(x[i], y[i], x[i + 1], y[i + 1], :blue)
   end
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x1, y1, "(x1,y1) ", :green, :right, :vcenter)
       point(x2, y2, "(x2,y2)", :green, :left, delta=-delta/2)
       point(x0, 0, "楕円:a, b,(x0, 0)", :green, :center, delta=-delta/2)
   end
end;