算額（その1114）

算額（その1114）

百二 岩手県大船渡市猪川町 気仙猪川村安養寺 安政年間か
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円5個，楕円，正方形

正方形の中に楕円 1 個と等円を5個容れる。等円の直径が与えられたとき，正方形の一辺の長さを求めよ。

正方形の一辺の長さを 2a
楕円の長半径と短半径，中心座標を a, b, (0, b)
等円の半径と中心座標を r, (0, 2a - r), (r, b + r), (r, b - r)
右上の等円と楕円の接点座標を (x0, y0)
とおき，連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms a::positice, b::positive, x0::positive,
     y0::positive, r::positive
@syms a, b, x0, y0, r
b = a - r
eq1 = x0^2/a^2 + (y0 - b)^2/b^2 - 1
eq2 = -b^2*x0/(a^2*(y0 - b - r)) +(y0 - b - r)/x0
eq3 = (x0 - r)^2 + (y0 - b - r)^2 - r^2;

eq1, eq2 から x0，y0 を求める。

(ans_x0, ans_y0) = solve([eq1, eq2], (x0, y0))[2]

   (sqrt(2)*a*sqrt(a^2 - r*(2*a - r + sqrt(2*a^2 - 4*a*r + r^2)))/(2*(a - r)), a - r/2 + sqrt(2*a^2 - 4*a*r + r^2)/2)

eq3 に ans_x0, ans_y0 を代入し,a を求める。

eq13 = eq3(x0 => ans_x0, y0 => ans_y0) |> simplify;
res = solve(eq13, a)[5]

   r*CRootOf(4*x^5 - 16*x^4 + 8*x^3 + 12*x^2 - 11*x + 2, 2)

ans_a = res(r => 1/2).evalf()
#= a =# ans_a |> println

   1.57180973798553

正方形の一辺の長さは，等円の半径の 2*1.57180973798553 = 3.14361947597106 倍である。
等円の直径が 1 寸のとき，正方形の一辺の長さは 3.14361947597106 寸である。

「術」では，正方形の一辺の長さは等円の直径の √7 + 0.5 = 3.1457513110645907 倍であるとしているが，違いがある。

図形描画には不要であるが，接点座標は以下のようになる。

#= x0 =# ans_x0(a => ans_a, r => 1/2).evalf() |> println
#= y0 =# ans_y0(a => ans_a, r => 1/2).evalf() |> println

   0.682602589915843
   2.03727326411408

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r = 1/2
   a = 1.57180973798553
   x0 = 0.682602589915843
   y0 = 2.03727326411409
   b = a - r
   @printf("等円の直径が %g のとき，正方形の一辺の長さは %g である。\n", 2r, 2a)
   plot([a, a, -a, -a, a], [0, 2a, 2a, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   ellipse(0, b, a, b, color=:blue)
   circle(0, 2a - r, r)
   circle2(r, b - r, r)
   circle2(r, b + r, r)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x0, y0, "(x0,y0)", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 2a, " 2a", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 2a - r, "等円:r,(0,R-r)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(r, b + r, "等円:r,(r,b+r)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, 2b, "2b=2a-2r", :blue, :center, delta=-delta/2)
       
   end
end;

算額（その1113）

算額（その1113）

百一 岩手県大船渡市猪川町 田茂山町神明杜 田茂山神社（奉納年不明）
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円6個，円弧，正三角形

円弧の中に正三角形 1 個，甲円 2 個，乙円 4 個を容れる。甲円の直径が 1 寸のとき，弦の長さを求めよ。

正三角形の一辺の長さを 2a
円弧の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (x1, y0 + r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x21, y0 + r2), (x22, y22)
弦と y 軸の交点座標を y0
とおき，以下の連立方程式を解く。
弦の長さは 2sqrt(R^2 - y0^2) である。
甲円の中心と正三角形の底辺の右側の頂点を結ぶ直線は円弧の中心を通り，x 軸となす角は 60° なので，弦と y 軸の交点座標 y0 = R/2 である。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms a::positice, y0::positive, R::positive,
     r1::positive, x1::positive,
     r2::positive, x21::positive, x22::positive, y22::positive
x1 = r1 /√Sym(3)+ a
y0 = √Sym(3)a
R = 2y0
eq1 = x1^2 + (y0 + r1)^2 - (R - r1)^2 |> expand
eq2 = x21^2 + (y0 + r2)^2 - (R - r2)^2 |> expand
eq3 = x22^2 + y22^2 - (R - r2)^2 |> expand
eq4 = (x21 - x1)^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2 |> expand
eq5 = dist2(a, y0, 0, R, x22, y22, r2);

println(eq1, ",  # eq1")
println(eq2, ",  # eq2")
println(eq3, ",  # eq3")
println(eq4, ",  # eq4")
println(eq5, ",  # eq5")

   -8*a^2 + 20*sqrt(3)*a*r1/3 + r1^2/3,  # eq1
   -9*a^2 + 6*sqrt(3)*a*r2 + x21^2,  # eq2
   -12*a^2 + 4*sqrt(3)*a*r2 - r2^2 + x22^2 + y22^2,  # eq3
   a^2 + 2*sqrt(3)*a*r1/3 - 2*a*x21 + r1^2/3 - 4*r1*r2 - 2*sqrt(3)*r1*x21/3 + x21^2,  # eq4
   3*a^2 - 3*a*x22 - sqrt(3)*a*y22 - r2^2 + 3*x22^2/4 + sqrt(3)*x22*y22/2 + y22^2/4,  # eq5

eq1 を a について解くことができる。その 2√3 倍が弦の長さである。

ans_a = solve(eq1, a)[2]
ans_a |> println

   r1*(5*sqrt(3) + 9)/12

y0 = √Sym(3)ans_a
R = 2y0
x0 = sqrt(R^2 - y0^2)
弦 = 2x0 |> factor
#= 弦 =# 弦 |> println
弦(r1 => 1/2).evalf() |> println

   r1*(5*sqrt(3) + 9)/2
   4.41506350946110

弦の長さは，甲円の半径の (5√3 + 9)/2，甲円の直径の (5√3 + 9)/2 = (√75 + 9)/4 = 4.415063509461097 倍である。
これは「術」と一致する。

---

以下は，図を描くためにほかのパラメータを求める手順である。

まず，eq2, eq3, eq4, eq5 の a に上で求めた ans_a を代入する。

eq12 = eq2(a => ans_a) |> simplify
eq13 = eq3(a => ans_a) |> simplify
eq14 = eq4(a => ans_a) |> simplify
eq15 = eq5(a => ans_a) |> simplify
eq12 |> println
eq13 |> println
eq14 |> println
eq15 |> println

   -39*r1^2/4 - 45*sqrt(3)*r1^2/8 + 15*r1*r2/2 + 9*sqrt(3)*r1*r2/2 + x21^2
   -13*r1^2 - 15*sqrt(3)*r1^2/2 + 5*r1*r2 + 3*sqrt(3)*r1*r2 - r2^2 + x22^2 + y22^2
   9*sqrt(3)*r1^2/8 + 9*r1^2/4 - 4*r1*r2 - 3*sqrt(3)*r1*x21/2 - 3*r1*x21/2 + x21^2
   r1^2*(5*sqrt(3) + 9)^2/48 - r1*x22*(5*sqrt(3) + 9)/4 - sqrt(3)*r1*y22*(5*sqrt(3) + 9)/12 - r2^2 + 3*x22^2/4 + sqrt(3)*x22*y22/2 + y22^2/4

eq14, eq15 を解いて x21, x22 を求める。

(ans_x21, ans_x22) = solve([eq14, eq15], (x21, x22))[4]
#= x21 =# ans_x21 |> println
#= x22 =# ans_x22 |> println

   2*sqrt(r1)*sqrt(r2) + 3*r1*(1 + sqrt(3))/4
   5*sqrt(3)*r1/6 + 3*r1/2 + 2*sqrt(3)*r2/3 - sqrt(3)*y22/3

eq12 に ans_x21, ans_x22 を代入し，r2 を求める。

eq22 = eq12(x21 => ans_x21, x22 => ans_x22) |> simplify
ans_r2 = solve(eq22, r2)[1] |> simplify |> sympy.sqrtdenest |> simplify
#= r2 =# ans_r2 |> println
ans_r2(r1 => 1/2).evalf() |> println

   3*r1*(4*sqrt(3) + 13)/121
   0.247043841697630

eq13 に ans_x21, ans_x22, ans_r2 を代入し y22 を求める。

eq23 = eq13(x21 => ans_x21, x22 => ans_x22) |> simplify
eq33 = eq23(r2 => ans_r2) |> simplify
ans_y22 = solve(eq33, y22)[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
#= y22 =# ans_y22 |> println
ans_y22(r1 => 1/2).evalf() |> println

   7*r1*(151 + 93*sqrt(3))/484
   2.25678210302411

以上をまとめると,r1 が与えられたとき各パラメータの値を得ることができる。

r1 = 1/2
a = r1*(5√3 + 9)/12
r2 = 3*r1*(4√3 + 13)/121
y22 = 7*r1*(151 + 93√3)/484
x21 = 2*sqrt(r1)*sqrt(r2) + 3r1*(1 + √3)/4
x22 = 5√3*r1/6 + 3*r1/2 + 2√3*r2/3 - √3y22/3
(a, r2, x21, x22, y22)

その他のパラメータは以下の通りである。

   r1 = 0.5;  R = 2.54904;  x0 = 2.20753;  a = 0.735844;  y0 = 1.27452;  x1 = 1.02452;  r2 = 0.247044;  x21 = 1.72743;  x22 = 0.453996;  y22 = 2.25678

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 1/2
   a = r1*(5√3 + 9)/12
   r2 = 3*r1*(4√3 + 13)/121
   y22 = 7*r1*(151 + 93√3)/484
   x21 = 2*sqrt(r1)*sqrt(r2) + 3r1*(1 + √3)/4
   x22 = 5√3*r1/6 + 3*r1/2 + 2√3*r2/3 - √3y22/3
   x1 = r1 /√3 + a
   y0 = √3a
   R = 2y0
   x0 = sqrt(R^2 - y0^2)
   θ = atand(y0, x0)
   @printf("甲円の直径が %g のとき，弦の長さは %g である。\n", 2r1, 2x0)
   @printf("r1 = %g;  R = %g;  x0 = %g;  a = %g;  y0 = %g;  x1 = %g;  r2 = %g;  x21 = %g;  x22 = %g;  y22 = %g\n", r1, R, x0, a, y0, x1, r2, x21, x22, y22)
   plot([a, 0, -a, a], y0 .+ [0, √3a, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, :green, beginangle=θ, endangle=180 - θ)
   circle2(x1, y0 + r1, r1, :blue)
   circle2(x21, y0 + r2, r2, :red)
   circle2(x22, y22, r2, :red)
   segment(-x0, y0, x0, y0)
   segment(0, 0, x0, y0, :gray70)
   segment(0, 0, -x0, y0, :gray70)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x1, y0 + r1, "甲円:r1\n(x1,y0+r1)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(x21, y0 + r2, "乙円:r2,(x21,y0+r2) ", :black, :right, :vcenter)
       point(x22, y22, " 乙円:r2,(x22,y22)", :black, :left, :vcenter)
       point(0, R, " R=y0+√3a", :black, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, y0, "y0", :black, :center, delta=-delta/2)
       point(a, y0, "(a,y0)", :black, :center, delta=-delta/2)
       point(x0, y0, "(x0,y0)", :black, :right, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その1112）

算額（その1112）

百 大船渡市猪川町 雨宝堂 現雨宝山竜宝院 文政10年(1827)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円5個，正三角形

大円 2 個と正三角形が交差している。隙間に小円を 3 個容れる。小円の直径が 1 寸のとき，正三角形の一辺の長さはいかほどか。

正三角形の一辺の長さを 2a
大円の半径と中心座標を r1, (x1, r1); x1 = r1 - r2
小円の半径と中心座標を r2, (0, r1), (x2, y2); x2 = r1
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms a::positice, r1::positive, r2::positive, x2::positive, y2::positive
x1 = r1 - r2
x2 = r1
eq1 = (x2 - x1)^2 + (y2 - r1)^2 - (r1 - r2)^2
eq2 = dist2(0, √Sym(3)a, -a, 0, x1, r1, r1)
eq3 = (y2 - r1)√Sym(3) - (x2 - x1);
res = solve([eq1, eq2, eq3], (a, r1, y2))[1];

a は簡約化できる。

#= a  =# res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println
#= r1 =# res[2] |> simplify |> println
#= y2 =# res[3] |> simplify |> println

   r2*(sqrt(3) + 6)/3
   r2*(3 + 2*sqrt(3))/3
   r2*(1 + sqrt(3))

正三角形の一辺の長さ 2a は，小円の半径 r2 の 2(√3 + 6)/3 倍である
小円の直径が 1 寸のとき，正三角形の一辺の長さは (√3 + 6)/3 = 2.5773502691896257 である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   (a, r1, y2) = r2 .*((sqrt(3) + 6)/3, (3 + 2*sqrt(3))/3, 1 + sqrt(3))
   x2 = r1
   x1 = r1 - r2
   @printf("小円の直径が %g のとき，正三角形の一辺の長さは %g である。\n", 2r2, 2a)
   plot([a, 0, -a, a], [0, √3a, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle2(x1, r1, r1)
   circle2(x2, y2, r2, :blue)
   circle(0, r1, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(x1, r1, "  大円:r1,(x1,r1)", :red, :left, :vcenter)
       point(0, r1, "小円:r2,(0,r1)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, y2, "小円:r2,(x2,y2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, √3a, " √3a", :green, :left, :vcenter)
   end
end;

算額（その1111）

算額（その1111）

百 大船渡市猪川町 雨宝堂 現雨宝山竜宝院 文政10年(1827)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円7個，外円

大円の中に中円 5 個，小円 1 個を容れる。小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径はいかほどか。

山村の図には小円が描かれていないが，小円は上の図の位置にある。
大円の半径と中心座標を R, (0, 0)
中円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1), (r1, y1), (r1, y1 -2r1)
小円の半径と中心座標を r2, (0, r2 - R)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, y1::positive, r2::positive
eq1 = r1^2 + (R - r1 - y1)^2 - 4r1^2
eq2 = r1^2 + (y1 - 2r1)^2 - (R - r1)^2
eq3 = r1^2 + (y1 - 2r1 - (r2 - R))^2 - (r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (R, r1, y1))[2]

   (2*sqrt(3)*r2 + 5*r2, 2*sqrt(3)*r2/3 + 5*r2/3, r2*(4/3 - sqrt(3)/3))

#= R  =# res[1] |> simplify |> println
#= r1 =# res[2] |> simplify |> println
#= y1 =# res[3] |> simplify |> println

   r2*(2*sqrt(3) + 5)
   r2*(2*sqrt(3) + 5)/3
   r2*(4 - sqrt(3))/3

大円の半径 R は，小円の半径 r2 の (2√3 + 5) 倍である。
小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は 8.464101615137753 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   (R, r1, y1) = r2.*(2√3 + 5, (2√3 + 5)/3, (4 - √3)/3)
   @printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2R)
   @printf("r2 = %g;  R = %g;  r1 = %g;  y1 = %g\n", r2, R, r1, y1)
   plot()
   circle(0, 0, R)
   circle(0, R - r1, r1, :green)
   circle2(r1, y1, r1, :green)
   circle2(r1, y1 - 2r1, r1, :green)
   circle(0, r2 - R, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R - r1, "中円:r1,(0,R-r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(r1, y1, "中円:r1,(r1,y1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(r1, y1 - 2r1, "中円:r1,(r1,y1-2r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r2 - R, "小円:r2,(0,r2-R)", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(R, 0, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

算額（その1110）

算額（その1110）

四十一 岩手県一関市牧沢 牧沢八幡神社 明治8年(1875)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円5個，正方形，斜線2本

長方形の中に，斜線を 2 本引き，甲円 2 個，乙円 3 個を容れる。乙円の直径が 1 寸のとき，平（直平;長方形の短辺）はいかほどか。

下図に示すように，乙円が同じ大きさでも，長方形の短辺はいかようにもなる。つまり，解はない。
「答」，「術」，山村ともに，この点には一切触れていない。

要するに条件不足なので，追加条件として，たとえば長方形の長辺の長さを与えるようにすれば解は一意に求まる。
長方形の長辺，短辺を 2a, b
斜線と長辺の交点座標を (c, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (a - r1, y1); b/(a + c) = y1/c より，y1 = b*c/(a + c)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, r2), (r2, b - r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, c::positive,
     r1::positive, y1::positive, r2::positive
y1 = b*c/(a + c)
eq1 = dist2(-c, 0, a, b, 0, r2, r2)
eq2 = dist2(-c, 0, a, b, a - r1, y1, r1)
eq3 = dist2(-c, 0, a, b, r2, b - r2, r2)
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, b, c))[3]

   (2*r2*(a - r2)/a, 2*r2*(a - r2)*(2*a - r2)/(a*(a - 2*r2)), a - r2)

長方形の短辺の長さは 2*r2*(a - r2)*(2*a - r2)/(a*(a - 2*r2)) である。
乙円の半径 r2 が 1/2，長方形の長辺 2a が 3.2 のとき b = 3.09375 である。
これは，山村の図に近い。

a = 3.2/2
r2 = 1/2
2*r2*(a - r2)*(2*a - r2)/(a*(a - 2*r2))

   3.09375

下図は，等円の直径が 1，長方形の長辺が 5 のときのもので，短辺は 2.4 である。

ちなみに，長辺を小さくしていくとすればするほど短辺は大きくなるが，そのうち「長辺より短辺が長くなる」。「答」のように「平が 6.434 寸」などになることはありえない。乙円の直径が 1 寸であることも考えれば，そのようなことは一層ありえないということはわかりそうなものだ。

function draw(r2, a, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, b, c) = (2*r2*(a - r2)/a, 2*r2*(a - r2)*(2*a - r2)/(a*(a - 2*r2)), a - r2)
   y1 = b*c/(a + c)
   @printf("等円の直径が %g，長方形の長辺が %g のとき，短辺は %g である。\n", 2r2, 2a, b)
   plot([a, a, -a, -a, a], [0, b, b, 0, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle2(a - r1, y1, r1)
   circle2(r2, b - r2, r2, :green)
   circle(0, r2, r2, :green)
   segment(-a, b, c, 0, :magenta)
   segment(-c, 0, a, b, :magenta)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(c, 0, " c", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, b, " b", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a - r1, y1, "甲円:r1,(a-r1,y1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r2, "乙円:r2\n(0,r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(r2, b - r2, "乙円:r2\n(r2,b-r2)", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;