My discovery about mathematics

"The final problem?" のつづき。
** (1∈N)∧∀x((x∈N)→(x+1∈N))) ∈A　としてよい。
C=A∪{d∈N, 1≤d, 2≤d,…}とおく。
Cの任意の有限部分集合は適当な本来の自然数 mにより　d=m となるモデルがあり整合。
よって　C　も整合で可算モデル　M をもち、
M |= d∈N, M |= 1≤d, M |= 2≤d, …

∀x((1∈x)∧∀y((y∈x)→(y+1∈x))→(N⊂x))　∈A として良い。
本来の自然数の全体　N={1,2,…} がMに対して、集合ならば、M |= N=N。
M |= d∉N となるから、NはMにたいして集合ではない。置換公理により、任意の「可算集合」は
Mにたいして、集合ではない。

*** P=∀x((x∈N)→((T^x-1")/(T-1")∈k[T])) (Tは多項式の変数をあらわす個体記号。)　とおく。
P∈A とする。任意の本来の自然数　k　に対して
(T^m-1")/(T-1")=1"+T+…+T^k+T^k+1(T^m-k-1-1")/(T-1") 。
多項式　p=(T^m-1")/(T"-1") は　項　T^k　をふくむ。
これを、 (T^m-1")/(T-1")=1"+T+…+T^k+…(無限和）,+… と考える。

とにかく、今の数学は矛盾を含んでいる。　このままではいけない。

Theorem 9 You cannot formalize theory of Lebesgue measure.
Proof. Assume that A formalizes theory of Lebesgue measure.
Put F_n=A∪{n∈d, ∀x((x∈(0,d])→∃1y((x∈(y, y+1])∧(y∈d))), m((0, d])≠1+m((0, d])} (n∈N). m( ) is Lebesgue muasure.
Like the proof of theorem 1, ∪_n∈N F_n is consistent and has a countable model M for which
M |= n∈d ∀n∈N, M |= m((0, d])≠1+m((0, d]).
But M |= m((0, d])=∑_i∈d m((i, i+1])=1+1+…(infinitely).
M |= m((0, d])=1+m((0, d]) This is contradiction.♦
Theorem 4,5, and 8 suggest that you must not use formulas including infinite symbols.
(Remark that N={1}∪{2}∪…(infinitely).)
You will have to use only logic which you can write by logical formulas.
Theorem 1,2 and 9 teach what you lose then.