"The final problem?" のつづき。
** (1∈N)∧∀x((x∈N)→(x+1∈N))) ∈A としてよい。
C=A∪{d∈N, 1≤d, 2≤d,…}とおく。
Cの任意の有限部分集合は適当な本来の自然数 mにより d=m となるモデルがあり整合。
よって C も整合で可算モデル M をもち、
M |= d∈N, M |= 1≤d, M |= 2≤d, …
∀x((1∈x)∧∀y((y∈x)→(y+1∈x))→(N⊂x)) ∈A として良い。
本来の自然数の全体 N={1,2,…} がMに対して、集合ならば、M |= N=N。
M |= d∉N となるから、NはMにたいして集合ではない。置換公理により、任意の「可算集合」は
Mにたいして、集合ではない。
*** P=∀x((x∈N)→((Tx-1")/(T-1")∈k[T])) (Tは多項式の変数をあらわす個体記号。) とおく。
P∈A とする。任意の本来の自然数 k に対して
(Tm-1")/(T-1")=1"+T+…+Tk+Tk+1(Tm-k-1-1")/(T-1") 。
多項式 p=(Tm-1")/(T"-1") は 項 Tk をふくむ。
これを、 (Tm-1")/(T-1")=1"+T+…+Tk+…(無限和),+… と考える。
とにかく、今の数学は矛盾を含んでいる。 このままではいけない。
** (1∈N)∧∀x((x∈N)→(x+1∈N))) ∈A としてよい。
C=A∪{d∈N, 1≤d, 2≤d,…}とおく。
Cの任意の有限部分集合は適当な本来の自然数 mにより d=m となるモデルがあり整合。
よって C も整合で可算モデル M をもち、
M |= d∈N, M |= 1≤d, M |= 2≤d, …
∀x((1∈x)∧∀y((y∈x)→(y+1∈x))→(N⊂x)) ∈A として良い。
本来の自然数の全体 N={1,2,…} がMに対して、集合ならば、M |= N=N。
M |= d∉N となるから、NはMにたいして集合ではない。置換公理により、任意の「可算集合」は
Mにたいして、集合ではない。
*** P=∀x((x∈N)→((Tx-1")/(T-1")∈k[T])) (Tは多項式の変数をあらわす個体記号。) とおく。
P∈A とする。任意の本来の自然数 k に対して
(Tm-1")/(T-1")=1"+T+…+Tk+Tk+1(Tm-k-1-1")/(T-1") 。
多項式 p=(Tm-1")/(T"-1") は 項 Tk をふくむ。
これを、 (Tm-1")/(T-1")=1"+T+…+Tk+…(無限和),+… と考える。
とにかく、今の数学は矛盾を含んでいる。 このままではいけない。