パンストの幾何学と極小曲面〜ポアンカレ予想の奇悲劇､ちょっと休憩

　前回”その6”に寄せられたHoo嬢のコメントに､”パンストの幾何学って､パンストって針を突き刺すと伝線するけど､そのパンストが特異点という針に触れて伝染しない様に用心深く手術しようとしたんだけど､ピーンと(極限に強く)張ったパンストならば変形のしようがない。
　つまり､境界を持たないシームレスのパンストは単連結だから変わりようがないって事よね。これがポアンカレの幾何学でサーストンの幾何学は必要なかったって事？？？”とあった。
　数学のセンスを匂わせる､見事な質問である。

　正直言うと､私も100%理解して書いてる訳でもない。ひょっとしたら半分も理解してないのかもしれない。
　でもそういったコメントが届くと､何かを閃いたりするもんだ。
　事実､若い人の感性というのは､老いた脳を活性化させるに十分すぎるものではある。
　勿論､”パンストの幾何学”とは”石鹸膜の幾何学”を勝手に捩ったものだ。

石鹸膜の幾何学

　しかし私は答えに困った。パンストの幾何学をどうポアンカレの幾何学に結びつけようか迷ったのだ。
　前回の復習になるが､paulさんの言葉を拝借して､ポアンカレ予想の解法を簡潔に説明する。
　ペレルマンは新たに､放物線リスケーリングという観察の効果とエントロピーという計量の概念を使い､サーストンの壁をうまく回避したんですが。エントロピーで得られた多様体の不変な計量の様をハミルトンのリッチフローで時間を逆行させ､リスケーリングという魔法の顕微鏡でスロー再生し､じっくりと観察しました。
　そこで得られたのが､｢局所非崩壊定理｣という(葉巻型特異点の様な)”多様体の崩壊はあり得ない”という事でした。
　これは､葉巻型特異点が一瞬にしてパッと消える事はあっても､パフっと萎んで(局所的に)潰れる事はない。
　これを証明する事こそがサーストン予想(野心)に代わる最大の壁になったんです。当然､無限回の手術を有限時間内に終わらせるのは不可能です。時間の始点と終点を結びつけても､ループを延々と回り続けるだけですね。
　これこそがハミルトンが陥った大きな罠でした。

　ペレルマンは思考を変換し､”自明な基本群を持つ閉(コンパクト)多様体は無限界の手術を必要としない”という近道を模索します。
　そこで閉曲線を境界とする”極小曲面”である石鹸膜の幾何学を使ったんですね。
　因みに極小曲面とは､与えられた閉曲線を境界とする面積最小の曲面の事で､平均曲率が曲面上の至る所でゼロとなる曲面です。
　例えば､針金に張る石けん膜は表面張力により面積が極小になり､平均曲率は0となります。言い換えれば､針金の枠の形が決まれば､枠内の曲面の形は1通りだけ(この部分は”とね日記”サンを参照です)。
　故に､極小曲面では小さな鋭い突起(特異点)が出ようとすれば､石鹸膜が弾けるのと同じ原理ですね。
　つまり､閉じた極小曲面は位相的にはですが､変形のしようがない。これは､手術痕の切断面(ネック)から胴体を伸ばす事が出来ない事を意味します。それだけの面積がないから明らかです。
　この事は､”多様体が位相的には変化しない”と同義ですね。
　以下でも述べますが､この現象は石鹸膜でなくてもパンストでも応用できます。　

　それに閉じた極小曲面であるには､”閉(コンパクト)多様体が境界を持たない単連結である”必要があります。故に､多様体が球面である事を(有限時間内に)確かめる事が出来る。
　これこそが｢単連結な3次元閉多様体は3次元球面と同相である｣というポアンカレ予想の解法である事は明白で､結局ポアンカレ攻略には､石鹸膜の幾何学が必要であって､サーストンの野心(予想)は必要なかったんです。

パンストの幾何学

　そこで､石鹸膜の幾何学を”パンストの幾何学”に置き換えて説明してみます。
　あまり堅苦しく考えずに､エロい光景を浮かべながら眺めて下さい。

　ハミルトンプログラムを逆行させ､リスケーリングとエントロピーという2つの新たなツールを駆使し､多様体というパンストが伝線しない様に､特異点という針を用心深く取り除きながら､最終的には満遍なく均一に張り詰めた”極小曲面”という平均曲率0のパンストに仕上げます。
　この”安定”した極小曲面は､(位相的には)それ以上変形のしようがないから､この作業は延々と続く事はない。
　故に､ここまで来るとパンストが中途にビーッと伝線する様な､ハミルトンを終生悩ませた”葉巻型特異点”が介入するスペースを全く与えない。確かに､不安定な引っ張りがパンストを伝線させますもんね。
　これを数学的に言えば､｢局所非崩壊定理｣(多様体はリッチフローの最中に崩壊できない)というポアンカレ予想の中核をなす定理をペレルマンは経由し､”葉巻型特異点”は崩壊しない。つまり､そんな特異点は発生しない事を証明します。

　この均一に張り詰めた状態のパンストが(ポアンカレ予想を満たす)閉じた極小曲面である為には､境界のないシームレスなパンストである必要がある訳で､これをトポロジー理論で置き換えると､”閉じた(コンパクトな)多様体が(境界を持たない)単連結である”となる。
　堅苦しく言えば､”自明な基本群を持つ閉(コンパクト)多様体”となる。
　これこそが”単連結な3次元閉多様体は球面と同相である”というポアンカレ予想だったんですね。そして､このパンスト(3次元閉多様体)が最終的には丸い球面に収まる事で､ポアンカレ予想に決着をつけたんです。
　トポロジー的に言えば､”多様体は位相的には変化しない”ですね。

　勿論､サーストンの幾何学(基本要素が決まれば3次元閉多様体の構造を特定できる)はハミルトンプログラムを走らせるのに必要でして､しかし(3次元閉多様体はたかだか8個だ)というサーストンの予想(野心)までは必要ではなかった。
　ペレルマンは証明の途中で､偶然にもサーストンの野心の裏を突いたんですね。
　

最後に

　大まかに､ペレルマンの石鹸膜の幾何学(極小曲面)を使った解法をパンストの幾何学？を交えて説明しましたが。
　前回”その6”のイラストでも紹介してますが､極小曲面といっても針金枠内の局面の中で最小面積の曲面となる訳ではなく､幾通りの石鹸膜を作る事が可能です。
　しかし､その膜を胴体を作る様に無理に引き延ばそうとすると､パーンと弾けて消え去ってしまう。その胴体こそがハミルトンを終生悩ませた葉巻型特異点でしたが､その厄介な特異点が発生しない(消える)事に運良くペレルマンは気付いたんです。
　つまり伝線しないパンストを､ペレルマンはトポロジー上で証明したんですね。確かに現実には､パンストが伝線する事なくパーンと消えてなくなる事はないんですが､伝線しないパンストを作る事は不可能じゃない？

　ペレルマンの解法は､余分な贅肉をバッサリと削ぎ落としたシンプルな証明だっただけに､多くの数学者がついていけませんでした。
　でもこの異常なまでのシンプルさこそが､これからの数学に求められる最も大切なものではないでしょうか。
　パンストの幾何学に見合ったイラストがなかなか見つからなかったので､仕方なく商品宣伝用の写真を載せてます(悲)。
　あしからずです。