無限級数の不思議な世界〜物理学と数学から見た解析接続の不思議

　珍しい事だが､｢無限級数の闇と謎｣の記事にアクセスが集まっていた。
　現実の世界では､1+2+3+4+･･･は無限大に発散する筈だが､”総和法”と呼ばれるトリックを使えば､1+2+3+4+･･･=−1/12になるというのは､よく知られた事である。
　カラクリを説明すれば､数列の和である級数が収束する様に部分和をとり､その極限を取る事で(発散する筈の)級数の収束値(極値)を導き出す。これを数学的に証明する為に”解析接続”という偉大なるマジックが存在する。

　”そんな筈ないやろ！それに無理やりそんな事しても何の役に立つねん”と言われそうだが､こうして得られた収束値は(リーマンゼータ関数などの)数学の領域だけではなく､物理学における場の量子論や超弦理論などの分野でも使われている。
　例えば､原子核はプラスの電荷をもった陽子と電荷を持たない中性子からなるが､複数の陽子を持つ原子核は(陽子同士が反発するので)普通に考えれば原子核はバラバラになる。つまり､(大人しくさせるには)無限大のエネルギーが必要になる。しかし現実には､原子核という塊として当り前の様に存在する。
　この矛盾を解消する為に､(1+2+3+4+･･･=−1/12の様な)無限に発散する筈のエネルギーに､解析接続を使って求まる有限値を当てはめるといった手法が行われる。

物理学と数学での解析接続

　こうした､無限大になる所をうまく引き去って有限の値を求める事を物理学では”繰り込み”と呼ばれるが､1+2+3+4+･･･=−1/12は量子力学の真空エネルギー(カシミール力)の計算に使われている。
　更に､｢超弦理論｣では､限界がある”繰り込み”を使わず無限大を回避する為に､素粒子を弦と措いた理論とされます。が､”無限大を回避する”という意味では､(極を回り込む様にして回避する)リーマンの解析接続と同じですね。
　こうした自然数の総和が収束するという魔法の数式(総和法)は､”発散する筈の粒子を安定させる”という物理学的な意味もある。
　判りやすい例で言えば､地球上の地面は一見すれば無限に広がる平面に見える。故に､全面積を積分すると発散する筈です。しかし実際は､(地球は丸く)地表は球面である為に､全面積を積分しても有限となる。超弦理論でも同様の事が起きてる可能性がある。
　つまり､以下で述べる解析接続というトリックは､物理学でも当り前の様に使われる時代が来ると思います。
　もっとわかり易く言えば､宇宙という不確かな空間に対し､太陽系というある大きさに収束する部分空間を例に取る。この太陽系の空間を無限に拡張した空間群が収束すれば､宇宙という無限空間もある大きさに収束する。実際､収束するのか膨張するのかは､証明されてませんが・・・

　一方で､ゼータ関数ζ(s)=1+1/2ˢ+1/3ˢ+1/4ˢ+･･･は､sが実数の時は”s>1”の範囲でしか収束しない。故に､リーマン予想の”ζ(s)=0になる様なsの実部は1/2だろう”とは､明らかにこの収束条件(s>1)に反する。
　しかし､リーマンは解析接続を使い､”s=1以外の全ての複素数sについてζ(s)の値を計算できる”様に､ゼータ関数を複素領域にまで拡張し､リーマンゼータ関数と名付けました。
　因みに､sが実数の時のゼータ関数をディリクレ級数(L関数)と呼び､またs=−1をはめ込むと､ζ(−1)=1+2+3+4+･･･=−1/12と特殊化できる事から､この級数を”ゼータ関数の正規化された和”と定義出来る。
　素数のパターンという実存する数の大きな謎を解明する大きな手掛かりになるリーマン予想にも､この解析接続がふんだんに使われている。

ラマヌジャンの危険？な計算

　では実際にどうやったら､1+2+3+4+･･･=−1/12になるのか？
　一番有名なのは(ある種の矛盾を含むが)､ラマヌジャンのやり方だ。
　まず､X=1+2+3+4+5+6+･･･とおき､これを4倍してXから引けば､
　X=1+2+3+4+5+6+7+8･･･
　4X= 4+ 8+･･･　
−3X=1−2+3−4+5−6+7−8+･･･ー①という交代級数を得る。
　ここで､初項1公比x(-1<x<1)の無限等比級数である1+x+x²+…=1/(1−x)ー②を考える。この両辺をxで微分した1+2x+3x²+…=1/(1−x)²にx=−1を代入すれば､1−2+3−4+5−6+7−8+･･･=1/4を得る。
　故に､①より−3X=1/4となり､X=−1/12を得る(証明終)。
　しかし､②の等比級数の左辺が収束するには､−1<x<1なる必要がある。同じく右辺が収束するにはx≠1である必要がある。
　ここで､両辺の定義域は−1<x<1で一致するので､(実解析を複素解析にまで拡張した)解析接続の”一致の定理”が使え､両辺の定義域をx≠1に拡張できる。故に､にx=−1を代入しても矛盾は起こらない。
　つまり､xが実数では矛盾するが複素数上では矛盾しない。通常は､実数上で局所的(−1<x<1)に一致する2つの解析関数が大域的(x≠1)に一致する事を主張する定理と言えますね。

　因みに､上の交代級数を使ったやり方には､もっと簡単なやり方がある。
　まずA=1−2+3−4+5−6+7−8+･･･とおき､=1+(2−4)+3+(4−8)+5+(6−12)+7+(8−16)+･･･=1+2+3+4+･･･−4−8−16−18−･･･=(1+2+3+4･･･)−4(1+2+3+4･･･)=X−4X=3Xと変形。
　一方で､A=1−2+3−4+5−6+7−8+･･･に､2A=2−4+6−8+10−12+14−16+･･･
を足す。
　すると､3A=1+(2−2)+(3−4)+(−4+6)+(5−8)+(−6+10)+･･･
=1+0−1+2−3+4−5+･･･
=1−(1−2+3−4+5−6+･･･)
=1−A。故に､4A=1となりA=1/4を得て､A=−3Xより､X=−1/12を得る(証明終)。

　しかし､上の交代級数Aの先頭に0を加えると､0+1−2+3−4+5−6+7−8+･･･=0+(1−2)+(3−4)+(5−6)+･･･=0+1+1+1+1･･･≠−3(1+2+3+･･･)となり､項の括り方次第では明らかに矛盾する。
　故に､級数という数の和で考えると項(数)が無作為に足し合わされるという矛盾が避けられない。しかし､関数に昇華した形で厳密に扱えば､こうした矛盾は避けられる。
　つまり､級数1+2+3+･･･における各項nを複素変数sに関する関数1/nˢへと拡張すれば､項の足し合わせだけは保証される。
　こうして得られた級数はより厳密な取扱いができ､変数sを−1に特殊化する事もできる。こうした手法を形にしたのが前述した”ゼータ関数の正規化”である。

　因みに､1+x+x²+…=1/(1−x)にx=−1を代入した､1−1+1−1++･･･=1/2は”チェザロ総和法”で､1−2+3−4+5−6+7−8+･･･=1/4は”アーベル総和法”により収束値を割り当てるが､適用できるのは収束級数と振動級数に対してのみである。
　無限大に発散する級数については､これらの総和法を発展させ､上の様な矛盾を回避した”ラマヌジャン総和法”や(上で説明した)リーマンゼータ関数の正規化が使われる。
　しかし､ラマヌジャンの総和法は少しややこしい､というか個人的には総和法がどうも好きになれないので､(変数sを−1に特殊化した)”ゼータ関数の正規化”を使った証明方法を紹介する。
　ζ(s)=1+2⁻ˢ+3⁻ˢ+4⁻ˢ+･･･にて､
2×2⁻ˢζ(s)=2×2⁻ˢ+2×4⁻ˢ+･･･とし､
(1−2¹⁻ˢ)ζ(s)=1−2⁻ˢ+3⁻ˢ−4⁻ˢ+･･･を得る。
　この時､上の等式の右辺は､交代ゼータ級数φ(s)の形であり､これは､ζ(s)とφ(s)の両ディリクレ級数が収束する領域(s>1)において､等式が成り立つと言える。但し､この時のsは実数である。
　更に､上の2つの級数が発散する領域(s<1)に対しても､無限等比級数で使った解析接続により､(複素数の世界では)s≠1の領域に拡張出来る。
　故に､s=−1を代入し､−3ζ(−1)=φ(−1)を得るが､φ(−1)=1−2+3−4+5−6+7−8+･･･は1−2x+3x²−…=1/(1+x)²にx=−1を代入した級数のアーベル総和である1/4を得る。
　よって､−3ζ(−1)=1/4より､ζ(−1)=1+2+3+4+ …= −1/12を得る(証明終)。

オイラーの危険？な計算

　実は､これは単にオイラーの考察(1739)を使ったやり方で､当時は解析接続やゼータ関数というのがある訳もなく､”危険な計算”とされた。
　関数や複素解析が定義されてない時代にあってオイラーは､(1−2¹⁻ˢ)ζ(s)=1−2⁻ˢ+3⁻ˢ−4⁻ˢ+･･･=φ(s)という交代ゼータ関数を､ζ(1−n)=φ(1−n)/(1−2ⁿ)ー③との整数n上の等式で表した。これは､s=1−nを代入すれば明らかですね。
　そこで､初項1公比−x(-1<x<1)の無限等比級数である1−x+x²−…=1/(1+x)を考え､両辺にxを掛け､xで微分し､1−2x+3x²−…=1/(1+x)²という交代級数を得る。
　以下同様に微分を繰り返し､
1−2²x+3²x²−4²x³+･･･=(1−x)/(1+x)³､
1−2³x+3³x²−4³x³+･･･=(1−4x+x²)/(1+x)⁴､
1−2⁴x+3⁴x²−4⁴x³+･･･=(1−11x+11x²−x³)/(1+x)⁵､
1−2⁵x+3⁵x²−4⁵x³+･･･=(1−26x+66x²−26x³+x⁴)/(1+x)⁶を次々と求めていった。
　ここで上の5式に､無限等比級数が収束しない領域内のx=1をオイラーは敢えて代入し､
φ(−1)=1−2+3−4+･･･=1/4､
φ(−2)=1−2²+3²−4²+･･･=0､
φ(−3)=1−2³+3³−4³+･･･=−1/8､
φ(−4)=1−2⁴+3⁴−4⁴+･･･=0､
φ(−5)=1−2⁵+3⁵−4⁵+･･･=−1/4を得た。
　後は､③式のζ(1−n)=φ(1−n)/(1−2ⁿ)より､
ζ(0)=φ(0)/(1−2)=−1/2､
ζ(−1)=φ(-1)/(1−2²)=−1/12､
ζ(−2)=φ(-2)/(1−2³)=0､
ζ(−3)=φ(-3)/(1−2⁴)=1/120､
ζ(−4)=φ(-4)/(1−2⁵)=0､
ζ(−5)=φ(-5)/(1−2⁶)=−1/252と､負の整数のゼータ級数の特殊値を得ていた。

　同時にオイラーは､負の偶数の特殊値は0である事と､負の奇数のゼータ値が有理数(ベルヌイ数Bₙ)であり､ζ(1−n)=(−1)ⁿ⁻¹Bₙ/nと書ける事をも発見する。
　勿論､このゼータ級数を複素数にまで拡張したリーマンゼータ関数では､s≠1の領域で収束するので､オイラーの”危険な計算は正しかった”事になる。
　言い換えれば､オイラーの危険な計算は､解析接続という複素解析の理論を使う事で正当化できる。つまり､オイラーによってゼータ級数が発見され､ディリクレによって実関数(L関数)に置き換えられ､最後にリーマンによって複素関数に拡張された。
　そして､ゼータ関数という保型形式のモジュラー関数は新たな数学の扉を開くのである。

最後に

　因みに､”ラマヌジャン総和法”とは､級数の部分和に対する”オイラーの和公式”(1735)の定数項だけを分離する方法である。
　この和公式とは､∑ⱼ[1→n-1]f(j)+(f(0)−f(n))/2=∫[0,n]f(x)dx+∑ₖ[1→m]B₂ₖ(f⁽²ᵏ⁻¹⁾(n)−f⁽²ᵏ⁻¹⁾(0))/(2k)!+R₂ₘで定義される。
　この定義式から定数項だけを抜き取ると､その定数項は､関数fに対し､級数∑ₖ[1→∞]f(k)の”古典ラマヌジャン和”は､C=−f(0)/2−∑ₖ[1→∞]B₂ₖf(0)⁽²ᵏ⁻¹⁾/(2k)!で定義される。
　但し､f⁽²ᵏ⁻¹⁾はfの(2k−1)階の導関数の事で､B₂ₖとは2k番目のベルヌイ数で､B₂=1/6､B₄=−1/30・・・勿論､証明はややこしいのでここでは省きます(悲)。
　ここでf(x)=xとすれば､fの一階導関数f⁽¹⁾=f’(x)=1となり､2階以上の導関数は全て0となり､上の定義式の右辺のk≥2の項は全て消える。故に､f(0)=0より､1+2+3+･･･=C=−B₂/2!=−1/6･2!=−1/12を得る。

　事実､ラマヌジャンはこのオイラーから受け継いだ”古典的な総和法”を簡単に説明する為に､危ない計算式を敢えて書いた訳だが､この総和法は収束の遅い無限級数の和を求める時には便利だが(fが多項式の時を除き)m→∞とすれば､ベルヌイ数が急速に大きくなり発散する。
　故に､ラマヌジャンの(古い)総和法を使うよりも､(新しい)”ゼータ関数の正規化”を使った方が簡単で確実です。それに過去にも4度に渡り”総和法”を記事にしたんですが､今に振り返っても理解に苦しむ。

　以上､”1+2+3+･･･=−1/12”という無限級数の不思議な世界について長々となりましたが､数学者のエドワード･フレンケルは”この計算は数学界における最高の秘密の一つだろう”と述べてる様に､数学には常に不可解な領域がつきまとう。それを克服する為に､虚数と実数が織りなす複素解析という壮大なる世界がある。
　つまり､現実の壁は虚空の壁によって突き破られるのだろうか？