リーマン予想と素数の謎､番外編その６(19/2/23更新)〜アーベルの総和法と自然数の総和とゼータの収束と〜

　1年ぶりにアーベル総和法を更新してますが､結構いい加減な事書いてますね。慌てて修正する始末で､スンマセン。

　この発散級数の総和法による収束ですが。リーマンゼータが登場するまでは､抽象的過ぎて大変な作業だったんですね。リーマンの解析接続もある意味､総和法とも言えますか。いや言えないか。

　前回”その5”では､減衰振動する公比1の無限等比級数､ζ(0)＝”1+1+1+•••”＝−1/2となる事を､"振動アーベル総和法"を使い示しました。従来のアーベル総和法では､発散した無限級数をです。

　今日は､ζ(−1)＝”1+2+3+•••”＝−1/12の謎に迫ります。これも前回と同じく､"振動アーベル総和法"を定義し､実際にオンラインで計算すれば､−1/12に収束するんですが。それまでの過程がややこしくて。

 

自然数を係数に持つ交代級数＿＿＿＿＿＿

　先ず､以下の自然数を係数に持つ等比級数を考えます。この自然級数の公比rの等比級数の公式は､1+2r+3r²+4r³+•••＝1/(1−r)²､0＜r＜1で与えられます。この公式も何度も出ますので､しっかりと覚えておきます。

　この公式の証明ですが。前回登場した､初項1､公比rの等比級数､1+r+r²+r³+•••＝1/(1−r)²の両辺をrで微分すれば､簡単に得られますね。
　前やったのは､両辺を2乗し､項をずらして足し合わせた､原始的なややこしいやり方でした。ここにて訂正です､スンマセン。

　そこで前回同様､次の様な自然数を係数とした”交代級数”を考えます。S＝1−2+3−4+•••＝1+2(−1)+3(−1)²+4(−1)³+•••と変形です。
　自然数を係数とした初項1､公比−1の等比級数の公式が使えるので､S＝1/(1−(−1))²＝1/4となりますが。公比−1は範囲外だし､答えは無限大かマイナス無限大の筈です。
　
　そこでアーベル総和法の出番です。これも自然数を係数とした交代級数として､Sa＝"1−2+3−4+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]k(−1)ᵏ⁻¹e⁻ᵏˣ､0＜x(≒0)と定義します。自然数に相当するkが噛んでるのに注意です。この交代級数は､最初増大し､その後ゆっくりと指数関数の効果により減衰します。

　これを自然数を係数とした､初項e⁻ˣ､公比−e⁻ˣの等比級数の公式を使って表すと､e⁻ˣ−2e⁻²ˣ+3e⁻³ˣ−4e⁻⁴ˣ+•••＝Σ[k=1,∞]k(−1)ᵏ⁻¹e⁻ᵏˣ＝e⁻ˣ/(1−(−e⁻ˣ)²。
　x→0+の時､e⁻ᵏˣ→1となり､Σ[k=1,∞]k(−1)ᵏ⁻¹e⁻ᵏˣが限りなく､"1−2+3−4+•••"に近づくのが解りますね。これこそが､アーベル総和法のトリックなんです。

　lim[x,0+]より､上式にx＝0を入れると､e⁻⁰/(1−(−e⁻⁰)²＝1/4。これもグラフにすると判り易いんですが､減衰していき､最終項は0に収束。故に､"1−2+3−4+•••"は1/4に収束です。

　"1−1+1−1+•••"と"1−2+3−4+•••"の交代級数は､アーベル総和法で収束する事が証明されますね。アーベル総和法が”チェザロ総和法”よりも強力とはこの事です。

　故に､1+2r+3r²+4r³+•••＝1/(1−r)²の公比rは､−1≦r＜1に拡張出来､この自然数の等比級数は､減衰振動により収束します。つまり､交代級数を自然数を係数とした等比級数とみなす事で､収束を可能にしたんです。

 

”1+2+3+4+•••”＝−1/12､の謎＿＿＿＿＿＿

　次に､自然数の級数S＝1+2+3+4+•••を考えます。

　これも前回紹介した､”アインシュタイン以上の天才”とされるインドのラマヌジャンが”危ない”計算をします。
　1−1+1−1+•••＝1/2を､危険な計算で解き明かしたラマヌジャンは､A＝1−2+3−4+•••とし､S−A＝4(1+2+3+•••)で､S＝−A/3と。イラスト左下のナイスガイです。
　そこで､Aを1つずらしてA同士を足し､2A＝1−1+1−1+•••＝1/2とし､A＝1/4を得ます。
　故にS＝−1/12と。しかし､Aの最終項の極限≠0なので､これも勿論､誤りですが。答えはズバリ合ってます。

　そこで今度は､Sa＝"1+2+3+•••"＝lim[x,0+]Σ[k=1,∞]k*e⁻ᵏˣ､0＜x(≒0)､とアーベル総和を定義します。この自然数の等比級数は､最初増大し､その後ゆっくりと減衰の筈ですが。

　これも自然数を係数とした初項e⁻ᵏˣ､公比e⁻ᵏˣの等比級数の公式を使い､e⁻ˣ+2e⁻²ˣ+3e⁻³ˣ+•••＝Σ[k=1,∞]k*e⁻ᵏˣ＝e⁻ᵏˣ/(1−e⁻ᵏˣ)²。
　lim[x,0+]より､これにx＝0を入れると､e⁻⁰/(1−e⁻⁰)²＝∞となり､"1+2+3+•••"は発散します。アーベル総和法の限界ですね。

 

自然数の総和と振動アーベル総和法＿＿＿＿

　そこで前回同様に､この自然数の等比級数が非常に長い周期で振動してると仮定し､以下の"振動アーベル総和法"を使い､減衰する？自然数の総和を､次の様に定義します。

　振動アーベル総和Ha(x)＝"1+2+3+•••"＝lim[x,0]Σ[k=1,∞]ke⁻ᵏˣcos(kx)､0＜x(≒0)と定義します。この級数も､xの数の特質で､非常にゆっくりと減衰振動します。
　ただ前回は､Ha(x)＝"1+1+1+•••"をlim[x,0]Σ[k=1,∞]e^(−kx³)*cos(kx)と定義した様に､振動アーベル総和法の定義は級数毎に異なります。ここら辺はホントややこしいです。

　この"新しい和"の世界では､"1+2+3+•••"＝−1/12が成立します。実際､x＝0.001を代入し､k＝3000の範囲でオンライン計算すると､Ha(0.001)＝0.08333...≒−1/12となるそうです。
　故に､振動アーベル総和法の定義を使い､コンピュータで計算すると､ζ(−1)＝"1+2+3+•••"＝−1/12となると。イラストでは実際に収束する様子が判りますね。何だか解った様な解かんない様なですが。

　とにかく､通常の1+2+3+•••は､当然に如く発散し､”新しい和”である"1+2+3+•••"を振動アーベル総和法で定義すると−1/12に収束する。しかし有限項では､現実と同じで､1+2+3+•••n＝"1+2+3+•••n"＝∞となると。

　この振動アーベル総和法には､級数に応じて様々な公式が存在しますが。特に､この”総和法”という概念に慣れるには､時間が掛かりそうですね。

 

リーマンとアーベル＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　複素領域のゼータでは当り前の事が､リーマンが登場する前は､奇怪で様々な”総和法”を用い､発散級数の収束値を追い求めてたんですね。

　リーマンがいなかったら､左半分のゼータは発散したままで使い物にならんかったね。この自然数の総和(自然級数)も発散したままで､様々な発散級数から収束値が得られる筈もなく､その後の数学や物理学に応用される事もなかったでしょうか。

 　リーマンは､アーベルが発見した総和法を使う事なく､ゼータの収束を証明したんですが。このゼータの収束は､オイラーの夢であり､アーベルの希望でもあったかもです。

　総和法では､”新しい和”という特別な世界の中で進めていくんですが。リーマンは解析接続を使い､”新しい和”という抽象的な概念を用いずに､発散する筈のゼータ級数を収束させたんです。
　このリーマンがアーベルに入れ替わる様にして生まれてきたのには､何か大きな意味があったんですね。

　という事で､前回の”その5”に引き続き､1年ぶりに大幅な更新＆加筆しましたが。次回は､この"振動アーベル総和法"の証明に入ります。