加法の交換法則〜2+3=3+2は､果たして当たり前と言えるのか？

　｢数の基本｣では､”2+3=3+2”という当たり前の命題を数学的帰納法で証明しました。
　しかしこれには厳密には不足の部分があり､完璧な証明が｢数の概念｣の第1章に書かれてました。
　そこで今日は､”加法に関する交換法則”を厳密な形で証明しようと思います。
　サイトでは､いろんな証明の仕方が紹介されてますが､どれも完璧とまでは言えません。
　先日の｢数の基本｣で紹介した奴も､加法の定義の部分で少し曖昧な所があります。
　別に間違いでもないんですが､ここは｢数の概念｣の著者の高木貞治氏のやり方を見習って､”完璧”に拘りたいと思います。

加法における交換法則の存在定理

　まず､φ:N(整数)→N(整数)なる1対1対応(写像)を考え､x⁺=φ(x)をxの関数と見なします。
　因みに､”x⁺”とは整数Nの”順対応”を表し､各点xの右隣の点x⁺がφにより対応する点φ(x)とする。つまり､右に延々と続くこれら点列は整数の集合Nとみなす事が出来る。
　図で示せば､･→･→･･･→となりますね。　

　そこで､x⁺=φ(x)からφ(φ(x))=φ(x⁺)=(φ(x))⁺が成立しますが､これを簡単にしたF(x⁺)=F(x)⁺ー①の条件を満たす関数Fを考えます。
　関数Fを確定する為に､整数Nから任意に1つの数を取出し､それを記号0で表し､加法の基準にする。そこで､aを任意の数とし､付帯(初期)条件:F(0)=aー②とする。
　故に､0⁺=1､1⁺=2､･･･とする時､①により､F(1)=F(0⁺)=F(0)⁺=a⁺となり､F(1)=a⁺､F(2)=(a⁺)⁺､･･･と､Fの値が次々と決まる。

　そこで､F(x)の条件①②を用い､x+aという和(加法)の定義を試みます。
　F(x)はaにも依存するので､Fₐ(x)とかける。
　Fₐ(x)の基本定理として､①②からFₐ(0)=aとFₐ(x⁺)=Fₐ(x)⁺ー③の2つの条件に適応するFₐ(x)が一意的に決まる。
　この基本定理の証明ですが､
　仮にF(x)とG(x)が③に適応するならば､F(0)=G(0)=aとなる。
　今､F(x)=G(x)なるxの集合をMとすると0∈Mより､Mは空でない。また､x∈MならばF(x)=G(x)だが､仮定からF(x⁺)=F(x)⁺とG(x⁺)=G(x)⁺より､F(x⁺)=G(x⁺)。
　故にx⁺∈Mとなり､M=Nとなる。
　つまり､全ての数xに対し､F(x)=G(x)が成立。これは(解の存在を仮定しての)一意性の証明となります(証明終)。

　次に､Fₐ(x)の存在の証明ですが､a=0の時のF₀(x)=xと､a=1のF₁(x)=x⁺は明らかですね。
　そこで､aに関する帰納法を使い､Fₐ(x)の存在を仮定し､Fₐ₊(x)の存在を証明します。
　これは､Fₐ₊(x)=Fₐ(x)⁺ー④となるより､④を使い､Fₐ₊を定義すればいい。
　実際に､Fₐ₊(0)=Fₐ(0)⁺=a⁺となり､まずは③の第1条件を満たす。
　また､④よりFₐ₊(x⁺)=Fₐ((x)⁺)⁺。Fₐ(x)の仮定より=(Fₐ(x)⁺)⁺。再び④より=(Fₐ₊(x))⁺。
　故に､③の第2条件を満たし､定理③を満たすFₐ₊(x)が存在する(証明終)。

　最後に”加法”の定義を､a,xからFₐ(x)を定める算法(加法)を”xにaを加える”とし､Fₐ(x)=x+aと書きます。
　F₁(x)=x⁺より､x⁺=x+1。
　また③④によるFₐ₊(x)=Fₐ(x⁺)=Fₐ(x)⁺を和の公式で書けば､x+a⁺=x⁺+a=(x+a)⁺ー⑤
　初期条件はFₐ(0)=a､F₀(a)=aより､0+a=a､,a+0=aとかける。
　以上の定義を使い､交換法則”a+b=b+a”を証明します。
　仮に､b+a=ψ(a)とおくと､ψ(0)=b。
　⑤より､ψ(a⁺)=b+a⁺=(b+a)⁺=ψ(a)⁺。
　故に､定理③よりb+a⁺=(b+a)⁺の一意性が成り立ち､ψ(a⁺)=ψ(b⁺)⇒ψ(a)⁺=ψ(b)⁺よりψ(a)=ψ(b)となり､b+a=a+bが成立する(証明終)。　

　1対1写像と”順対応”の関数の基本定理と定義を1つ1つ証明し､最後に加法の定義”x+a”に結びつけ､基本定理の一意性を使う事で加法における交換法則を証明しました。
　考える程に恐ろしく抽象的なんですが､これも整数論の本質なんでしょうか。

　本当は､写像や関数の定義を使わずに､アルキメデスの原理と背理法を使っての簡潔な証明も紹介しようとも思いましたが､長くなりすぎるので今日はここまでにしときます。