平方数で作る数字並びで新たな平方数

平方数1・平方数1,2の和・平方数2の数字並びで構成する数が平方数になるのは？　　同一の平方数で挟む場合に限られる！

 発端　　令和の初日、元年５月１日の年月日付数10501（回文素数）を中心に持つ最小の平方数を探索した結果は、22510501225で、平方数・素数・平方数型である。中央の４n+１型素数は２個の平方数の和で表せるので、平方数だけで素数を挟む形の新たな平方数が作れそうだ。1000以下の素数は169個、そのうち2個の平方数和で表せる素数は赤字80個もある。

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

問題1　　平方数2個の和が素数のとき、それを元の平方数で挟んだ数字並びも平方数となる例は？

答え　　１億以下の平方数の組み合わせでは、5000万組の和の7％が素数であるが、平方数が得られる組合せは、最小平方数1と1の間に和素数2を挟む　121（＝11＾2）が唯一例である。

問題2　　平方数2個の和が素数でないとき（１億以下の平方数の組の93％）、その和を間に挟む数字並び平方数1・平方数和（1+2）・平方数2　が平方数になるのは？

答え　　仮称10進BASICで探索したところ、小さい順に下記を得た。

順序　　　　平・合・平型の平方数　　　中心の合成数　　平方根

 1                       484                        8　　　　　　　22

 2                       163216                   32　　　　　　404

 3                       255025                   50　　　　　　505

 4                       367236                   72　　　　　　606

 5                       499849                   98　　　　　　707

 6                       100200100               200　　　　　10010

 7                       121242121               242　　　　　11011　

 8                       144288144               288　　　　　12012

 9                       169338169               338　　　　　13013

 10                      196392196               392　　　　　14014

 11                      225450225               450　　　　　15015　

 12                      256512256               512　　　　　16016

 13                      289578289               578　　　　　17017

 14                      324648324               648　　　　　18018

 15                      361722361               722　　　　　19019

 16                      400800400               800　　　　　20020

 17                      441882441               882　　　　　210210

 18                      484968484               968　　　　　22022

 19                      102420481024          2048　　　　320032

 20                      108921781089          2178　　　　330033

 平方数の組で平方数が得られる形式をこの表から把握すると、①同一平方数の組み合わせで、かつ②その和、即ち平方数２倍値の桁数が元平方数の桁数と等しい　が条件であるとみなせる。

一般的に、桁数Mの2個の平方数で、2数の和（平方数と同桁数M）を挟む数は、

X^2・X^2+Y^2・Y^2  と形式的に表すと

=X^2*10^(2M)+(X^2+Y^2)*10^M+Y^2

                 =(X*10^M+Y)^2+(X-Y)^2*10^M

と変形できるので、X=Y　および　X^2+Y^2＝2X^2がX^2と同桁数であることが、上記の平方数の構成数そのものが平方数となる条件であることが分かる。このような数は無数にあることが分かる。この形式で中央部が素数となるのは平方数である１が素数2（＝1+1）を挟む121のみで、それがこの型の最小平方数である。

問題3　　回文型平方数で上記の方法で新たな3倍桁の回文平方数を作れ

こたえ　　121が問題を満たしていることは明らかであるが、これを種の回文平方数とすれば、121・121×2・121すなわち121242121が答えの一つで、その平方根は11011。この9桁数を新たな種とすれば、27桁数121242121242484242121242121も回文平方数であるはずで、実際に開平すれば、14桁回文数　11011000011011である。

9/23追記　同様に構成する次の数121242121242484242121242121242484242484968484242484242121242121242484242121242121　は平方数であるが、回文数ではない。その平方根は40桁で、11011000011011000000000000011011000011011　と依然として回文数である。