1953年のパズルの解 再掲

2019　/9/19、英Bristol大発表・・・1953年のパズルの解

「Bristol大Booker教授とマサチュセッツ工科大Sutherland教授^＊は3を整数の3乗3個の和で表す新しい解(10進21桁)を発見した。」

パズル　：　Mordell(Cambridge大)が1953年倫敦数学会誌に出題。　　　　　　　

n=ｘ^３＋ｙ^３＋ｚ^３と自然数nを表す時の整数解xyzの組は、n=1とn=2には無数にある^＊＊。一方n=3には3= 1³+1³+1³  &  3= 4³+4³+(-5)³の2個の簡単trivial解しか知られてない。　もっとあるはず・・・でも考え付けない！

答 :：　

新しい解は、50万台のPCを連結した並列計算^＊＊＊で得た次式：

   3=569936821221962380720³ + (-569936821113563493509)³+ (-472715493453327032)³

　　　　　検算は、「カシオKETSAN」サイトでできるが、Excelでは実行不可：

185131426470358721030003064550489120286063150089838997749248000-
185131426364725746289073278168542399539619802127338908944671229-
         105632974740929786381946720746443347962500088804576768＝3

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

註

• Bookerは計算アルゴリズムを考案、Sutherlandは大規模並列計算を調整・実行。共に計算数論computational number theoryの専門家である。“Cracking the problem with 33” でBooker論文.pdf (2019)に到達可能である。

＊＊　2人はn=1～100(但しn≠±4(mod 9)) に対する本表示式の最終解n=42を本年提示した。n=１と２には3乗3項和のパラメータ表示式がある。1 = (9n⁴)³ + (3n-9n⁴)³ + (1-9n³)³, 2 = (1+6m³)³ + (1+6m³)³ + (-6m²)³・・・m,nは任意整数

＊＊＊　Sutherland談「この大規模並列計算は、あたかも天文学者が高性能望遠鏡を手に入れて従来見えなかった星を見るようなもので、ワクワクする。」　

上の課題の計算時間総計は400万時間で、実質10時間相当か？。

Bookerはスパコン3週間で自然数表示のn=33を解いた。ｎ≦100の最終解n=42は少くも10倍掛かると見て、並列実績のSutherlandとチーム結成。結果は130万時間(50万PC計)を要し、計算量は6.5倍。単純に同じスパコンなら3週×6.5=20週＝5カ月占用で解けるのか。これらは2019年春と秋の結果である。500,000PCs（Charity Engine）はスパコンの1000倍速(スパコン3週間×6.5÷2.6時間=スパコン×1260）と言うことになる。

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　　 Mordell出題の1953年は、小生80才老生が中２で結核休学していた年である。当時「1 9 5 3」の4数字で0～100になる表示式を作って数学教師に送った。「皆和ｎ」=1+2+・・・+nを多用したっけ。

それは休学中の教室で披露され、クラスが沸いたと後で級友から聞いた・・・遠い記憶！

2ヶ月振りにkick! 浦安シニア納会

12月21日（土）雨が降り出す気配の土曜の朝、昨夜から用意したトレーニングスタイルに着替えとシューズを入れたザックを担いで7時過ぎに我が家を出た。気温数度か、当時前日の冬の朝である。姉ヶ崎公園にあるピッチに着いたときには既に40歳以上全世代の交流戦が始まっていた。２ヶ月ぶりなので、ウォーミングアップを意識して、次のハーフへの参加打診に「No」を出し、ランニングとストレッチで体を解す。左ひざ内側の痛みは気にかかるが、左のキックを避ける覚悟で参加する。ここ２か月は蹴っていない。気掛かりはkickではなく、心肺機能の方である。ダッシュで脈拍と呼吸のピッチを上げて見たりした。

２０分ハーフ１本だけトライしたが、自身の筋肉の反応が遅いことははっきり分かる。が、思っていたよりはましな感じがした。ただ、速いボールをさばいてタイミングの良いパスを出した直後に、「ナイストラップ」と声がかかったのには苦笑を禁じ得なかった。ま、それが実情ではあるのだ。その後はゲーム参加を辞退し、３ハーフのラインズマンを務めて終了。

昼時であり、船橋での納会まで３時間あるので、姉ヶ崎のビアレストランでベルギー産Newton beerで昼食。船橋和食の故郷で納会、会計報告に基づき、会費値下げの明文化、各３世代の次期体制を決め、例年の抽選景品に赤のシンガードをゲット。小生の乾杯発声で宴会開始。２次会は大松。ここでは酒ばかり飲むので体よく追い出され、３次会？　店を思い出せず。And氏と逆井まで同行帰宅／就寝。起床してザックを整理、洗濯物を一括したが、どうやらメガネが見つからない。

其のうちに３次会までご一緒したMr.Takより電話があり、３次会の店名を聞かれた。が、思い出せない。氏はザックをどこかへ忘れた様子である。店に探しに行くという。「小生の眼鏡も」と言おうとしたが止めた。暫時探索した結果ベッドわきで発見、落着。さてザックの行方は如何。夕方Mr.Takから電話で「心配かけたがJRで保管されていた」との報、これで両品とも落着

12/7(土）東葛リーグO-60交流戦＠電中研我孫子G応援

このところ全く走っていない。休日燻っていても筋力低下傾向を抑えることはできないので、交流戦に顔出ししようと思って手を挙げたが、前日からの冷たい雨で、「ゲーム参加は遠慮」と前日にクラブ内メールで表明した。当日は朝から氷雨風のしとしと寒い天候。何とか練習の恰好だけは決めたが、ぐずぐずしている内に試合開始時間近くになり、ようやく腰を上げて、2時間予定の試合時間の半ば近くにグランドにたどり着いて間もなく、雨中のゲームは短縮して、ちょうど終了を迎えるところであった。

まぁ、少しはゲームへ前向きに動いたので、気分は上向きではあった。チームメイトの車の便をお断りして、下の中華で一休みすることにして、旧知のHas氏に電話を入れて落ち合った。自然数の整数3乗の3個和表示に追加の新情報があったので、ビールのつまみ代わりに紹介した。それは、「3を表す正負整数3乗の3個の和は、（1,1,1）と（4,4,-5）のほかにないのか？」と言う問いである（Mordell1953, J. of Mathematical Soc.,London)。1にも2にも解の3個の数組合せが無限にあるのだから、3に2個の解しかないのは解しかねると言う訳か。2019/9/19の新解は、3=569936821221962380720³ + (-569936821113563493509)³ + (-472715493453327032) ³

50万台PC並列とBooker教授アルゴリズムの強みを重ねて示した形である。n=x³+y³+z^3、を解くのに、n-z³の素因数分解から導ける整数の積の形が(x+y)(x²-xy+y²)のｘとｙに該当するならOKなので、積の形を変え、ｚを変えて行く手法である。多桁整数になると素因数分解がPC単体には負担が重くなる。

出題の1953年は、中2で長期休学した年である。西暦年の1と9と5と3を1回ずつ使って0～100になる計算式を作って提出したことを思い出した。科学系の雑誌の課題だったと思う。階乗ならぬ「階和」（1+2+・・・+ｎ）まで繰り出した覚えがあるが、その後の「数学」で階和にはとんとお目に掛からないのが長く気がかりである。

中華の後は、Has氏宅でwineとwhisky・・・・・酔って帰宅。この日、試合会場に向かって動いたに過ぎないが、積極的に動かないと左膝内側痛（鵞足炎）の良化は期待できまい。周辺筋のストレッチから始めようと思う。目標は3月清水の大会のO-75である。