初夏、マスク着用戸外勤務で・・・

20200527の道路排水施設清掃保安の最後は、利根運河の国交省運河出張所付近であった。東武線運河駅にほど近く、対岸には料亭旅館「新川亭」が健在のようだ（写真の建物）。

利根川と江戸川を結ぶ全長8.5km、利根川側に水門があり、完成から130年経っ国内初の洋式閘門運河という近代化遺産である。オランダ人お雇い技師デレーケが調査し、工事はムルデルが指揮した。閘門は現存しない。銚子から東京への航路途中の民営運河の優位性は鉄道の開通で消えた。現在は利根洪水の500ｍ3/ｓを受け持つ1級水系で、その堤防規模が見事である。

昭和36年土木工学科4年の小生が当時の建設省江戸川工事事務所での夏季実習の終わりに、関東地建管内の河海工事や日光砂防などを見学させて頂いた時、この新川亭に泊まった。ここでは、お酒も飲んで楽しんだ勉強旅行の記憶が残る。東大端艇部の友らは銚子遠漕でここを利用し、運河の一部ではボートを人力で運んだと聞いた。

明治20年代の荷の積み替えなどの賑わいは、すでになかった。古い旅館が生き延びているのは、近隣の公的機関・理科大関係など良き客筋が続いているのか、と想像する。

昔日を偲ぶ感傷とは無縁に、日照り下のコロナマスク着用は身に堪えた。柏で乗り継いで最寄りの逆井に帰着した夕刻には熱射病状態。翌日の勤務を断ってベッドイン、一晩39.8度の発熱を氷枕で冷やした次第だ。

コロナウィルス感染対策の自粛要請期間継続中 20200520

Stay homeの継続中である。浦安シニア60のマネ－ジャーから携帯メール“6/6練習G確保”が入った。脚力低下がかなり重症化しつつあるのが気にかかる。。

TVでは、仏での自粛生活中の児童虐待の増加に対する子供たちへのヘルプコールの呼びかけが報じられている。親の監視中での緊急の訴えはかなり困難であろうが、カウンセラーの戸別訪問が難しいという問題がある。我が国も状況は変わらないはずだが、表面化していないので気にかかる。

ガン患者の治療通院回避と免疫抑制薬の不服用が見られるという。実は小生も、経過観察検診を意識的に遅らせている。

5月14日に緊急事態宣言が北海道・関東圏・関西圏以外の地域では解除され、２１日に関西も解除、残るは関東と北海道だ。「需要はすぐには戻らない」と見られている。試算では、コロナ感染リスクの影響に伴う経済損失額は5月末で45兆円。緊急事態宣言の39県解除でも、改善は1/6に過ぎないという。航空会社で言えば、90％減収で医療資源の客席空輸を行っていると今朝のTV。

さて本日は、雨模様ではあるが、久しぶりに柏五條谷と言う初めての地名の近所、我が家から車で１０分余の処での下水道調査のガードマン業務が入った。雨模様だが、そろそろ出かけなくては！

ある種の整数5乗6項和～12項和等式の不思議な性質

＜数学サイトで拾った整数のべき乗和等式＞　mathworld.wolfram.comの「数論／ディオファントス方程式／５乗セクション（ >Number Theory  >Diophantine Eq. >5^th Power）では、整数５乗和等式が54式例示されている。その中から目に付く10式を拾い出した！！

ここで、係数1の5乗和の等式を（次数5、左辺項数、右辺項数）で表すことにする。まず、解のない5乗和等式から始まる：（5,2,1）  A⁵+B⁵=C⁵はフェルマーの最終定理の５乗の場合に相当し、整数解はない。　また、（5,2,2）　 A⁵+B⁵=C⁵+D⁵  にも1.02×10²⁶　迄には整数解がない。更に、（5,3,1）　A⁵+B⁵+C⁵=D⁵　　にも8×10¹²　迄には整数解がないことが確かめられている。

＜不思議な性質　1＆5乗和等式の10例＞　この54例中の10例の等式では、同じ整数の組で、１乗和等式と5乗和等式の双方が成立していることに気づいた。例示されている5乗和等式数の19％が1乗和等式としても成立しているのである。このことは、当該サイトには記述されてない（筈）。

パラメトリック解が知られている（5,3,3）形式A⁵+B⁵+C⁵=D⁵+E⁵+F⁵では、例えば、24⁵+28⁵+67⁵＝3⁵+54⁵+62⁵の場合、5乗和と1乗和の等式の双方が成立する。　　

（5,3,3）形式では同じ性質を持つ、他の4式、[18,44,66]＝[13,51,64]^1,5、　　[21,43,74]＝[8,62,68]^1,5、　[56,67,83]＝[53,72,81]^1,5、　[49,75,107]＝[39,92,100]^1,5　をピックアップできる。

また、これらとは異なる形式（5,4,3）の最小解[1,8,14,27]＝[3,22,25] ^1,5、（5,4,4）の最小解[5,6,6,8]＝[4,7,7,7] ^1,5  、および（5,4,4,4）の最小解[3,48,52,61]＝[13,36,51,64]＝[18,36,44,66] ^1,5　がピックアップできる。

さらに項数の多い、(5,5,6）の[22,17,16,6,5]＝[21,20,12,10,2,1] ^1,5と（5,6,6）の[87,233,264,396,496,540]＝[90,206,309,366,522,523] ^1,5の2式があり、1乗・5乗の複数べき乗和等式が成立する合計10式がピックアップされる。

＜より多くのべき乗指数で同時成立する例＞　　で5乗以下の例がないか探索した。すると、同一整数組で1,3,5乗と1,2,3,5乗に対応する等べき乗和等式がある。(5,3,4)の[ 24, 33, 51] = [7, 13, 38, 50] ^1,3,5と、負整数を組に含む(5,4,4)の[-91, -17, -5, 113] = [-77, -55, 23, 109] ^1,2,3,5を見つけた。”keisan”と言う計算サイトを使えば、これらの等式の真偽確認は容易である。

＜1～5のべき乗指数全てで成立する例＞　　冒頭に挙げたサイトの5乗和の項には（5,6,6）形式でk＝1,2,3,4,5乗の一般パラメトリック表示（パラメータ5個）が見られる。恐るべし！Srinivasa Ramanujan級だ！　

5乗以下の非負べき乗指数全てで成立の非負整数組の(5,6,6)形式として、 [ 0, 5, 6, 16, 17, 22 ] = [ 1, 2, 10, 12, 20, 21 ] ^k=1,2,3,4,5 ･･･(1912,G.Tarry)、(5,6,6,6,6)形式の[ 0, 23, 25, 71, 73, 96 ] = [ 1, 16, 33, 63, 80, 95 ] = [ 3, 11, 40, 56, 85, 93 ] = [ 5, 8, 45, 51, 88, 91 ] ^k=1,2,3,4,5 ･･･(1944,A.Golden)がある。

＜素数組の最近の発見例＞　　　素数限定の（5,6,6）形式では、　[ 17, 37, 43, 83, 89, 109 ] = [ 19, 29, 53, 73, 97, 107 ] ^k=1,2,3,4,5…（2016, Qiu Min, Wu Qiang: http://eslpower.org/eslp.htm#IdealPrimeSolutions）が挙げられる。

17+37+43+83+89+109 = 19+29+53+73+97+107 = 378

17²+37²+43²+83²+89²+109²=19²+29²+53²+73²+97²+107²= 30198

17³+37³+43³+83³+89³+109³=19³+29³+53³+73³+97³+107³= 2706858

17⁴+37⁴+43⁴+83⁴+89⁴+109⁴=19⁴+29⁴+53⁴+73⁴+97⁴+107⁴= 256735206

17⁵+37⁵+43⁵+83⁵+89⁵+109⁵=19⁵+29⁵+53⁵+73⁵+97⁵+107⁵= 25127111898

このように連続する指数で成立する素数の同べき乗和の左右同項数等式の中でネット検索での現時点最多連続指数の例では、表示はしないが、k=1～9乗の事例がある（2016, Chen Shuwen）。

 

大津川＿手賀沼流入２大？河川の一

千葉県北端部西寄り、江戸川・利根運河・利根川に挟まれる流域165平方kmの冨栄養湖沼 手賀沼の流域四半分ずつを受け持つ大堀川と大津川。前者は沼の西部、後者は沼の南西部を流域とする最大の水源河川である。流下距離12km、水源標高25mの狭小河川、大津川は利根水系の「一級河川」である！。写真は河口(手賀沼）から3km上流の権現橋(柏市）から上流を写した。川では、時に数十㎝級のコイが見られ、カワセミなどの野鳥も多い。両岸は狭い田地が続く。近年、流域の宅地化が進み、上流に浄化施設が設けられているが、それよりも利根川→江戸川の導水40ｍ3/secの一部max10m3/secの大堀・手賀への導水により、富栄養化No.1の称号は返上した。柏市ハザードマップを見ると、拙宅（橋より１km上流）は想定浸水域を100m余逃れてはいる。利根・江戸両川出水下の手賀増水時は松戸40ｍ3/ｓと布佐40+80ｍ3/ｓの排水機運転に頼るのである。

2020の倍数で最大の大町数（数字0～9全てを1回使う数）は？

QⅠ：全て異なる数字の10進7桁数で、最大の11の倍数は何？（Youtube数学の例題）

AⅠ：7桁最大大町数は、9876543≡6（mod11）…11で除算の剰余が6（合同式：1956～1960高大数学の対象外、今は数学A高1 ）。では、11の7桁大町最大倍数は？　6を引いて9876537≡0（mod11）→…左辺値から11の倍数を（暗算で）減じて大町数化する：　9876537-11×3＝9876504≡0（mod11）・・・7桁大町数、かつ11の倍数の最大値9876504　　

 

QⅡ：全て異なる数字の10進10桁数（大町数）で、最大の2020の倍数は何？…”2020”年の最大大町数倍数

AⅡ：10桁最大大町数は、　9876543210≡1670（mod2020）・・・2020で除算の剰余が1670

∴10桁最大の2020の倍数は？　9876543210-1670＝9876541540≡0（mod2020）→　9876541540から2020の倍数を（筆算または電卓で）減じて大町数化すると、9876541540－2020×10＝9876521340≡0（mod2020）…これが最大大町2020の倍数である。

 

QⅢ：大町数で、最小の2020の倍数は何？…”2020”年の最小大町数倍数

AⅢ：最小大町数は、1023456789≡1569（mod2020）であるから

∴10桁最小大町数に近い2020の倍数は？　1023456789-1569＝1023455220≡0（mod2020）、これに順次2020を加算して和が大町数か検査すること（PCプログラム）で最小の2020の倍数大町数を見つける。1023455220+2020×105987 ＝1237548960　・・・電卓を105987回叩くのはちと難しい