甲陽３５

「 １０ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ なので、和が１０となる４つの連続する整数の中で一番小さい数は１で、一番大きい数は４です。和が１０００となる最も多く連続する整数の中で、一番小さい数と一番大きい数を求めなさい。」 2019

これは楽勝やろ

４９９と５０１な。冗談やん、冗談

「和が１０００となる最も多く連続する整数の中で、云々」な。

１から１０までたしたら５５

１から１００まででは５０５０

１から５０まででは、２５かける５１となり１２７５（惜しい！）

このあたりやな。

まぁ、ハジマリを Α、終わりは Ω 、個数を N 個としよか

A たすことの Ω、かけることの N、わることの２が１０００な。

つまり、

（ A ＋ Ω ）×  N ＝２０００

（ A ＋ Ω 、N ）は２０００の約数である。そして、必ず Α ＋ Ω ほうが N より大きいので、（２０００、１）、（１０００、２）、（５００、４）、（４００、５）、（２５０、８）、（２０００、１０）、（１２５、１６）、（１００、２０）、（８０、２５）、（５０、４０）の、組み合わせな。

N（連続する整数の最大個数）が４０だとすると、Α ＋ Ω は５０。１から１０までたせば５５だったので、どない考えても合わん。却下。

N が２５だとすればどうか。たとえば、２５（Α）から５５（Ω）までだと、N が３１（個）となってしまいアウト。２６から５４まででは２９個、２７から５３まででは２７個、２８から５２まででは２５個、、これや。

和が１０００となる最も多く連続する整数の中で、一番小さい数は２８、一番大きい数は５２（答え）

サービス確認してみよか。２８から５２までは２５個あり、（２８、５２）、（２９、５１）、（３０、５０）、・・・（３９、４１）、ド真ん中に４０、（４１、３８）、（４３、３７）・・・。とすると、（A、Ω）は１２個あって、かけることの８０では９６０。ド真ん中の４０をたすと、１０００ちょうど。合うた合うた。

私のやりかたもちょっと拙かった。簡単そうで難しいな。でも、こう書かずに自分一人で答えるだけならば２、３分、、、は無理か。それでも５、６分以内には可能かな。

ーーーーー

ちなみに、連続する整数の個数は、最大数ひくことの最小数たすことの１（個）。

たとえば、１日から３０日まででは、日数にして３０日。５日から３１日まででは、２７日。

甲陽３４

「 数の列、　１、８、１５、２２、２９、３６、３７、４４、５１、５８、６５、７２、７３、８０、８７、９４、１０１、１０８、１０９、１１６、・・・、があります。
（１）１００番目の数を求めなさい。
（２）次の数がこの数の列にふくまれているかどうか調べます。ふくまれている場合には何番目にあるかを答えなさい。ふくまれていない場合は、この数の列にふくまれていてその数に最も近い数を求めなさい。 

（ア）９３６　（イ）２００３　（ウ）５４３１７ 」　2003

なるほど

１、８、１５、２２、２９、３６、・・・ ６つの数のループやな。そして、これを１ブロック目とする。

（１）１００わることの６は、１６あまりあり。したがって、１００番目では、以下のとおり１７ブロック目の４番目の数。

２ブロック目は（３７、４４、５１、５８、６５、７２）。

とすると、１７ブロック目では、（３６かけることの１６（９６番目））の次の数からとなり、５７７はじまりの（５７７（９７番目）、５８４（９８番目）、５９１（９９番目）、５９８（１００番目）、６０５、６１２）。

見てのとおり、１００番目の数は５９８や（答え）

（２）酒買い足しに行ってくるから、また後でな。ちょっと手間がかかりそうだが、甲陽くらいの算問は酒飲んでてもできる。なめんなや。

戻ったわ。

（ア）９３６は、３６でわると、２６。つまり、２６ブロック目のおわりの数。つまり、２６かけることの６となり、１５６番目（答え）

（イ）２００３は、３６でわると、５５あまりあり。

３６かけることの５６は１９８０（３６かけることの６で２１６番目）。

この次のブロックが、（１９８１、１９８８、１９９５、２００２、２００９、２０１６）となり、２００３に最も近い数は見てのとおり２００２や（答え）

（ウ）５４３１７は、３６でわると、１５０８あまりあり。

３６かけることの１５０８は５４２８８。

このブロックのはじまりの数は、５４２８９、順に、５４２９６、５４３０３、５４３１０、５４３１７、５４３２４。おっ！

１５０８かけることの６は、９０４８。５４２８９が９０４９番目にあたるので、５４３１７は見てのとおり、９０５３番目（答え）

どないや！

ややこしいのぉ、気ぃ狂いそうなったわｗ

甲陽３３

「 池の周りを２０人の人が同じ速さでジョギングしていて、１０人は等間かくで時計回りに、１０人は等間かくで反時計回りに走っています。太郎君がこの池の周りを分速８０ｍで歩いたところ、２分３０秒ごとに追い越され、５４秒ごとに向かいから来る人とすれちがいました。
（１）ジョギングをしている人の速さは分速何ｍですか。
（２）池の周りは何kmですか。 」　2012

よっしゃ、やったるわ

（１）太郎くん以外の人々のジョグ速を分速 X ｍとする

（ Ｘ ー ８０ ）× ２．５ ＝（ Ｘ ＋ ８０ ）× ５４／６０　な

２．５Ｘ ー ２００ ＝ ０．９Ｘ ＋ ７２

１．６Ｘ ＝ ２７２

X ＝（ ２５６ ＋ １６ ）÷ １．６ となり、

ジョギングをしている人の速さは分速１７０ｍ（答え）

（２）分速１７０ｍたすことの分速８０ｍは分速２５０ｍ。分速２５０ｍかけることの ５４／６０ 分の１０人前が池の周長となり、２２５０ｍ。ハ、２．２５ｋｍ（答え）

楽勝やん

ところで、私ハ、６年生で中２までの数学を修めた。こういう風に解いたらアカンのか？いうてみい。まぁ、カネはかかるで。だが、暢気に構えて悠長にしてる場合か。うちの甥は小２でサピックス通いや。将来は医者になりたいらしいわ。だが、男のくせに国語ができんでは話にならん、習字、読書も怠るなと忠告してる。

甲陽３２

「 表と裏にそれぞれ１つずつ数字の書かれたカードが４枚あります。表には１、２、３、４が書かれており、それぞれの裏には５、６、７、８が書かれています。このカードを４枚とも並べてできる４けたの数は全部でいくつありますか。」　2022 

まず、1⃣ 2⃣ 3⃣ 4⃣ の裏に、５、６、７、８ が書かれている通り数は、４ × ３ × ２ × １ となり、２４通り。

次に、その４枚が表裏で表示される通り数は、２ × ２ × ２ × ２ となり、１６通り。

こいつらカードを４枚とも並べてできる４けたの数の個数は２４かけることの１６となり、３８４個（答え）

カジノで解いたような心持ちだ（笑）

取り急ぎにて

甲陽３１

「　数の列
１、８、１５、２２、２９、３６、３７、４４、５１、５８、６５、７２、７３、８０、８７、９４、１０１、１０８、１０９、１１６、・・・・・・　があります。

（１）１００番目の数を求めなさい。

（２）次の数がこの数の列にふくまれているかどうか調べます。ふくまれている場合には何番目にあるかを答えなさい。ふくまれていない場合は、この数の列にふくまれていてその数に最も近い数を求めなさい。
（ア）９３６　（イ）２００３　（ウ）５４３１７　」　2003

 

（１）まずメモから
１、８、１５、２２、２９、３６
３７、４４、５１、５８、６５、７２
７３、８０、８７、９４、１０１、１０８
１０９、１１６、・・・・・・

こういうことになるやろうな

パッと見て、（２列目から下）各列３６の倍数たすことの１からスタートして、７ずつ増えてる
６個書いたら、１段下がる

ではでは、西宮のハイカラ社長に願いましては～

１００番目まで、「３６」のブロックがいくつあるかというと、
１００わることの６は、１６個あまり４
とすると、１７ブロック４番目の数字が１００番目の数字や

１列目は１から
２列目は３７から
３列目は７３から
４列目は１０９から

とすると、１７列目は、

（１７ ー １）× ３６ ＋ １で、５７７からスタート

順番に、５８４、５９１、１００番目は、５９８（答え）

 

（２）ちょっと後でな。天六商店街までレタス買いにいかなあかんねん

レタスと三つ葉を買ってうちに戻りまして、ではでは～

まず、（ア）９３６について
３６で割ってみよか
９３６わることの３６は２６（割り切れた）
２６組かけることの６個の数字では、１５６番目（答え）

次に（イ）について
２００３わることの３６は５５あまることの２３
５５かけることの３６は１９８０
１９８０たすことの１たすことの７は１９８８、たすことの７たすことの１９９５、たすことの７は２００２、たすことの７は２００９
２００３に最も近い数は、２００２（答え）

（ウ）について
５４３１７わることの３６は１５０８あまることの２９
１５０８かけることの３６は５４２８８
５４２８８たすことの１たすことの７は５４２９６、たすことの７は５４３０３、たすことの７は５４３１０、たすことの７は５４３１７

５４３１７は１５０９組５番目の数なので、
１５０９かけることの６は９０５４、ひくことの１で９０５３番目（答え）

 

ドヤ！？

だが、現場では（２）の（ア）までやろうな
割り切れんかったら調べなあかん ⇒ 時間がかかる
問題用紙を１周して余った時間で取り組んだらええわ。大して考えるまでもなく、サルみたいに知らべるだけで済むからおいしい

甲陽３０

「 １年から６年まで各学年ともＡ組、Ｂ組、Ｃ組の３組ずつである小学校について、次のことがわかっています。

①女子の人数は男子の人数のちょうど７割です。
②メガネをかけていない生徒は、かけている生徒を基準にしてそれより丁度６割だけ多くいます。
③もし全学年のＡ組の生徒の総数が５人多くて、Ｃ組の生徒の総数が１０人少なかったら、全学年のＡ組、Ｂ組、Ｃ組の生徒の総数は同じになります。
④１つの組の人数はすべて３６人以上５５人以下です。

　このとき、全校生徒数を求めなさい。 」  2003

メモ：

①女子 ＝ ０．７ × 男子　

女子 ： 男子 ＝ ７ ：１０

②メガネ  × １．６ ＝  メガネなし　

メガネ ： メガネなし ＝ １０ ： １６ ＝ ５ ： ８

③A ＋ ５ ＝  B  ＝ C ー１０

④２１６ ≦  A も B も C も  ≦ ３３０

ではでは、ノートPCに願いましては～

①より、全体は１７の倍数

②より、全体は１３の倍数

全体の人数は１７と１３の倍数となり、公倍数は、２２１、４４２、６６３、８８４、１１０５、・・・

④より、６４８ ≦  A ＋ B ＋ C  ≦ ９９０なので、

ここまでの条件を満たす全校生徒数は６６３人あるいは８８４人

③A ＋ ５ ＝ B ＝ C ー１０ より、つるかめを運用すると、

６６３からひくことの５、わることの３で、２１９あまり２、整数とならずにアウト

次に、８８４からひくことの５、わることの３は、２９３。割り切れてセーフ

したがって、全校生徒数は８８４人（答え）

ちなみに、A 組の総数は２８８人、B 組の総数は２９３人、C 組総数は３０３人（本問では求める必要なし）

ええ問題やなぁ

で、消防の算数問題を解くことが趣味になった。完全に、まったく。国語では縦書きなのでブログではナンセンス。英語も役立つやろうけど、算数のほうが解法感もあっておもろい、ちょっとした快楽や。私はね。

「ヒトに説明できてこそや。認識は。」誰やったかな。浄弘社長やったかな。ジョーシンの。

「ヒトの案を非難するんやったら、代替え案いえ！ワガに何もないクセにヒトの案にケチ付けるな。」とか、会議であきれながら。大阪の面白い坊っちゃん社長。昭和天皇と顔が似てるし、西宮に超豪邸も建ててた（笑）

浄弘博光氏（上新電機）の言葉 - （株）流通ビジネス研究所

甲陽２９

「 生徒数が４８０人の学校の生徒会で４人の委員を決める選挙に Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ の７人が立候補しました。開票数が４１０票になったところで中間集計を行うと上位５名の得票数はＡが１００票、Ｂが８５票、Ｃが７０票、Ｄが６０票、Ｅが５０票でした。無効票はなかったものとして、次の問いに答えなさい。

（１）中間集計で当選確実となった候補者は何人いますか。また、その理由を書きなさい。
（２）得票数が４５０票になったところで再び中間集計を行うと、Ａが１１０票、Ｂが９０票、Ｅが５０票、Ｆが４０票、Ｇが１５票でした。このとき、得票数が何票であればＣは当選確実となりますか。 」　2007

メモメモ

投票者数は４８０人

開票数が４１０票となったところ中間集計で、

A１００票、Ｂ８５票、Ｃ７０票、Ｄ６０票、Ｅ５０票

全部たすと、３６５票

とすると、F と G をたして４５票

残すところ７０票

当選確実に要する票数は、４８０票わることの（４人たすことの１人）となり、９６票。中間集計時点で A は当確。

A１００票　当確

Ｂ８５票　９６票まであと１１票

Ｃ７０票　８５票まであと１５票

Ｄ６０票　８５票まであと２５票　７０票まではあと１０票

Ｅ５０票　８５票まであと３５票　５０票まではあと２０票

FとG合わせて４５票

残すところ７０票の時点以降、たとえ C、D、 E、 F、 G のうち２人が３５票ずつとったとしても、B は当確。

残すところ７０票の時点以降、たとえば、D、E が３５票ずつとれば C はアウト。

「 中間集計で当選確実となった候補者は２人。

理由を以下に示す。

当選確実に要する票数は、４８０票わることの（４人たすことの１人）となり、９６票。中間集計時点で A は当確。

残すところ７０票の時点以降、たとえ C、D、 E、 F、 G のうち２人が３５票ずつ獲得したとしても、B は当確。

残すところ７０票の時点以降、A、B、 C 以外の２人が３５票ずつ獲得すると　C は落選する。以上、中間集計での当選確実候補者は A と B。」（答え）

（これで及第点のはずや）

（２）また後でな

甲陽２８

「 ０を除く整数について、次の問いに答えなさい。

（１）２から１０までの９個の整数すべてで割り切れる整数のなかで最小のものは何ですか。
（２）２から１０までの９個の整数のうちの８個で割り切れる整数を小さい方から３個求めなさい。 」　2017

２ × ３ × ４ × ５ × ６ × ７ × ８ × ９ × １０ を眺めながら検討する

（１）まず、９の倍数は必ず３でも割り切れる

次に、８の倍数は必ず４でも２でも割り切れる

そして、７で割り切れるのは７の倍数のみ

さらに、６の倍数は必ず３でも２でも割り切れる

加えて、１０の倍数は必ず５でも２でも割り切れる

とすると、

５ × ７ × ８ × ９ ＝ ２５２０

１０でも割り切れるので、設問を満たす整数の中で最小のものは２５２０（答え）

（２）５ × ７ × ８ × ９ ＝ ２５２０ について、

①９個から８個にするために１個だけ除外する

７の倍数とならないよう７を除外して計算すると、５ × ８ × ９ ＝ ３６０、倍で７２０、３倍すると１０８０。

②設問は、割り切れる小さい整数（あるいはかけて小さい整数）を求めているので、最大の９を除外して計算すると、５ × ７ × ８ ＝ ２８０

３と６と２８０の公倍数で試してみると、８４０（セーフ）、１６８０（アウト）、・・・

① と ② の整数は、小ちゃいほうから順番に、３６０、７２０、８４０（答え）

甲陽２７

「　１、２、３、４、５ の異なる５つの数字を並べた５けたの数を考えます。

（１）数は全部で何個できますか。
（２）１が３より左にあり、３が５より左にある数は全部で何個ありますか。
（３）「１４５３２」や「２５４３１」のように、途中まで数字が増えていき、その後減っていくような数は何個ありますか。
　ただし、「１２３４５」、「５４３２１」は除きます。」　2009

（１）５ × ４ × ３ × ２ × １ となり、１２０通り（答え）

（２）例えば、1⃣ 3⃣ 5⃣ ▢ ▢、1⃣ 3⃣ ▢ 5⃣ ▢、1⃣ 3⃣ ▢ ▢ 5⃣ の場合、二つの ▢ には２か４が入る。１、２、３、４、５ のうちから２と４の選び方は、５かける４、わることの（２かける１）となり１０通り。つまり、上記の例を含めた全部では１０通り。そして、例えば、▢ ▢ は 2⃣ 4⃣ あるいは 4⃣ 2⃣ となるので、１０通りの２倍となる２０個（答え）

（３）またあとでな

ではでは、出戻りましては～

（表）

４５▢▢▢、　３２１の１通り
▢４５▢▢、　最初の▢に１、２、３の３通り
▢▢４５▢、　最後の▢に１、２、３の３通り

合計７通り

この（裏）もあるので、合わせると１４通り

それら５けたの数字の個数を問われているので、１４個（答え）

ーーーーー

（裏）

▢▢▢５４、１２３の１通り

▢▢５４▢、　最後の▢に１、２、３の３通り
▢５４▢▢、　最初の▢に１、２、３の３通り

合計７通り

甲陽２６

「 ５人の生徒が算数のテストを受けました。２人ずつの得点を合計し、大きいものから５つとって順に並べると、１７９点、１７１点、１６７点、１６４点、１６１点となりました。５人の得点を高い順に答えなさい。ただし、得点はすべて整数で表されているものとします。 」　1994

ノートPCに願いましてーは～

５人の得点の関係を、A ＞ B ＞ C ＞ D ＞ E とする

まず、５人の得点のうちから２人の得点を選ぶ場合の数は、５かけることの４、わることの２、わることの１となるので、１０。なるほど。

ところで、そのうちの５つを選びながら、５人全ての得点を答えよというのであるから、E の得点も関係している。そうでなければ、本問においては、E の得点が必ず不明になってしまい、問として成り立たないからだ。

とすると、

A＋E の得点は１７９点、１７１点、１６７点、１６４点、１６１点のうちのどれかであり、それは、１６１点か１６４点のどちらか。

無論、A＋B の得点は１７９点。そして、A＋C の得点が１７１点。

したがって、B と C の得点差は８点。

１７９点、１７１点、１６７点、１６４点、１６１点のうちから、B と C の得点差である８点をひいて２でわると整数になるのは１６４点のみ。

つまり、B＋C が１６４点。

ここでいつものつるかめを運用すると、B は８６点、C は７８点。

A＋B は１７９点なので、A は９３点。

A＋D は１６７点となり、D は７４点。

１６１点が A＋E となり、E は６８点。

５人の得点は高い順に、９３点、８６点、７８点、７４点、６８点（答え）

なかなか面白い論理問題やなぁ

青字で書いた理屈に気づかずには解けないだろう