対角線論法は実数が可算だったら間違い！

「Ａ⇒￢Ａ」は矛盾している 2008/ 7/ 9 8:11 [ No.1 / 4 ]
投稿者 :　buturikyouiku

なるほど「Ａ⇒￢Ａ」を論理計算すると「￢Ａ」と同値だとわかります・・。

しかるに「Ａと￢Ａとは互いに矛盾している」こともまた確かです！

ゆえに「Ａ⇒￢Ａ」という論理展開はいわば禁じ手であるといえます・・。

さて、このジレンマを解いてください！



Re: 「Ａ⇒￢Ａ」は矛盾している 2008/ 7/ 9 8:12 [ No.2 / 4 ]
投稿者 :　buturikyouiku

この問題の趣旨は「そうであれば対角線論法は証明ではなく矛盾を導いたもの」であるという真実です。

すなわち「数え切れる無限」という条件命題が矛盾していることになるのです。



「Ａ⇒Ａ」だったら「Ａ⇔Ａ」ではないか？ 2008/ 7/16 6:50 [ No.4 / 4 ]
投稿者 :　buturikyouiku

「Ａ⇒Ａ」⇒「Ａ⇔Ａ」
⇔
￢「Ａ⇒Ａ」∨「Ａ⇔Ａ」　
⇔
Ｆ∨「Ａ⇔Ａ」
⇔
Ｔ⇒「Ａ⇔Ａ」
⇔
「この文章が真ならば「Ａ⇔Ａ」である」

これはカリー命題である。
あるいは

⇔
￢「Ａ⇔Ａ」⇒Ｆ
⇔
「ＡとＡが同値でなければこの文章は間違いである」

ここで公理として「Ａ⇔Ａ」を採用すれば、

「Ａ⇔Ａ」⇒「Ａ⇒￢Ａ」
⇔
￢「Ａ⇔Ａ」∨「Ａ⇒￢Ａ」
⇔
Ｆ∨「Ａ⇒￢Ａ」
⇔
「この文章が正しいならば「Ａ⇒￢Ａ」である」

ふたたびこれはカリー命題であり、
あるいは、

⇔
「￢「Ａ⇒￢Ａ」ならばこの文章は間違い」
⇔
「Ａならばこの文章は間違い」

ここで「Ａ⇔Ａ」は公理だったから、
導かれる結論は

「Ａ⇒￢Ａ」は「Ａ」ならば間違い。

すなわち、

「対角線論法は実数が可算だったら間違い」（見ろ、恐るべき結論ではないか・・・）