同値として対偶しか認めない論理学

命題Ａ⇒Ｂと同値なのは対偶命題￢Ｂ⇒￢Ａだけだとするのが対偶論理学です。

　そこからは￢Ａ条件にとって命題Ａ⇒Ｂが真なのは対偶命題￢Ｂ⇒￢Ａが成立するときだけだということを雄弁に論証することが出来ました。Ａという条件が封じられたら対偶しか無くなるという仕組みです。その意味において記号論理学の計算は目安に過ぎないとも考えられましょう。記号論理学では（Ａ⇒Ｂ）⇔（￢Ａ∨Ｂ）なのですが対偶論理学では（Ａ⇒Ｂ）⇒（Ａ∧Ｂ）∨（￢Ｂ∧￢Ａ）なんです。この集合で完全論理学による命題Ａ⇒Ｂの定義式（（Ａ⇒Ｂ）⇒Ｂ）⇒Ａを計算しますと結果はＡと出ます。これはこの定義によって自明で真であるのは前提条件であるＡだけだということが分かります。

完全論理学では対偶を自明で同値だとは致しません！

　さて記号論理学における「否定されなければ真」だとする計算も妥当性を尊重しなければならないとして、問題は「否定されない」という条件が二重否定にあたるのかどうか、という課題です。記号論理は￢Ａ⇒（Ａ⇒Ｂ）を恒真として￢Ａ∧（Ａ⇒Ｂ）を￢Ａと同値とするややこしい学問です。その計算をすると完全論理学の定義式は逆命題と同値と出ます。宜しい・・、逆命題を意味するというのならば（Ｂ⇒Ａ）⇒（Ａ⇒Ｂ）を計算して進ぜましょう。そうするとＡ⇒Ｂと同値だと出ます。

（（（Ａ⇒Ｂ）⇒Ｂ）⇒Ａ）⇒（Ａ⇒Ｂ））⇔（Ａ⇒Ｂ）なんです！

　この文章は「完全論理学の定義に沿ってＡ⇒Ｂを導くことはＡ⇒Ｂに等しい」ということで完全です。その代わりとして一たん定義してしまったら元に戻すということはしません。こうしたら完全論理学の集合計算では定義式はＡ⇒（Ａ⇒Ｂ）を意味した上でＡ∧Ｂになります。ですから対偶と同値だという定理もなくなります。対偶と同値であるためには￢Ａと￢Ｂとが存在しなければなりませんから非存在の可能性が有るならば定義しないのが完全論理学です。対偶論理学の記号計算などをまとめてみましょうか？

【対偶論理学】
（Ｘ⇒Ｙ）⇔（￢Ｙ⇒￢Ｘ）　かつ　（Ｘ⇒Ｙ）⇒（（Ｘ∧Ｙ）∨（￢Ｘ∧￢Ｙ））
（注）記号計算は同値ではないので集合から論理式に戻すことはデキマセン！

【完全論理学】
（（Ｘ⇒Ｂ）⇒Ａ）⇒（Ａ⇒Ｂ）⇔Ｘ＝（Ａ⇒Ｂ）

　また、カリー命題はＴ⇒Ａとゴク単純に表現することができました。対偶を取れば￢Ａ⇒Ｆですから「Ａでなければ嘘だ」というような駄々子のような意味だと受け取ればいいでしょう。記号論理学によってカリー命題ＣについてＣ⇔（Ｃ⇒Ａ）を計算したときに得られるＣ∧Ａという論理式が期せずして完全論理学による結果と一致しているというのも面白い現象ですね？対偶が存在すれば根本的なパラドクス（Ａでなければこの命題は間違いだ）に陥るというのも「対偶は自明で真ではない」という完全論理学の公理によって説明されます。嘘つきパラは両面パラドクスでしたがカリー命題は正直パラとも言えるかと存じます。「私は正直です」はもっともらしいのですが「正直でなければ私ではない」は成立しません！“嘘つきでかつ自分ではない”なんていう意味を持った亡霊命題なんです。しかし完全論理学では立派な命題です。

比べると嘘つきパラは「幽霊ですらない」といえるのかもしれないですね？