お父さん達のための数学続論 ‥丸め（四捨五入）誤差とVPの逆転現象

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サービス講義の続きです。

四捨五入そのものの本質に近づくための中間段階として、IMPリーグ戦のVPの「パラドックス」とも言える大逆転について、前回示したような個別的な例でなく、やや一般的な場合について述べます。

全５戦の各試合でVPを出すときは、タテマエの小数値と較べると、必ず隠れた四捨五入をして居る。その最大値は１VPに付き0.5VP、つまり５百円玉１個分。切り上げられたチーム（A）は小数値に対して最大ワンコイン得し、切捨てられたチーム（B）は最大ワンコイン損する。

簡単に言えば、気付かない内に、試合毎に、コイン１個貰えたり、奪われたりのギャンブルをして居るのと同じです。←ーーギャンブルでなくて「福引き」でしょ。　　でも取られることも有るわけだしねえ。

Aが５戦とも最大の得をすると、全部でコイン５個＝2,500円の得。Bが５戦とも最大の損をすると、全部で2,500円の損。一旦VP＝千円札で賞金を受け取って、Aが勝って喜んでいる所に、タテマエの十円単位の精算をやることになると、2,500円返す羽目になり、逆にBには2,500円返還される。

　つまりAとBが５千円＝５VP以内の差であれば、同点どころか、１〜４VPの範囲でBの方が逆に勝つ‼️

（この例に隠れて居る一つの事実は、四捨五入される元の数が、小数点以下１桁でも、２桁でも、百桁でも同じ現象が起こることです。）

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無論数学の心得が有る人は、５百円玉での上の過程のモデルは、極端過ぎると思われるでしょう。そう言う人のためには、次のモデルが有ります。これは十分数学的真実に則している。

• 四捨五入で得する場合、その平均値は２百５十円だ。（小数点以下の桁数に関わらず、小数値を整数値に切り上げる場合の誤差の平均値は、常に0.25。）
• 逆に損する場合も、同額だ。（同上。切り捨てる場合）
• 得する（切り上げ）か損する（切り捨て）かは、等確率現象、つまり半々だ。

それでサイコロを振るなり、コイン・トスをするなりして、５回（言わずと知れたIMP リーグ戦の試合数）試行しましょう。

Aチームが全得（全部切り上げられた。）すれば、離散値（整数値）VPに相当する千円単位の「概算払い」だと、1,250円ボーナスが隠れて付いたようなもの。Bチームが全損（全部切り捨てられた。）すれば、1,250円没収されて居るわけ。この確率はどちらも２の５乗分の１　＝　１／３２　≒ ３%。

それで、改めて連続値（小数値）VPに相当する十円単位で精算すると、A チームは1,250円返金し、B チームは1,250円償還される。差し引き2,500円Bチームが増えるから、概算払いでAチームがBチームに２千円（２VP）勝って居たとしても、精算すると、逆に500円（0.5VP）の負けになるわけです。

ましてや千円（１VP）差だったら、もう全くわけが分からないことになってしまいます。😜 

サッカーには元々小数点が無いから、面倒が起こらないモンね。