オートマトン (1)

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順序機械の例

sys.pdf の第６章「オートマトン（と形式言語）」の原稿の作成を始めました．

#60: 記号列の処理

(#) の六つ組(6-tuple) Ｍ = (Ｑ，Ｘ，Ｙ，δ，λ，ｑ₀) を順序機械といい，入力の１記号を出力の１記号に変換します．上図はその簡単な例であるバイポーラ符号の符号器のモデルです．

補足：(1) 機械としては入力，出力の双方があるもの（transducer），入力だけのもの（acceptor），出力だけのもの（generator）がありますが，出力だけの機械は通常この代わりに生成文法で考えます．
(2) 順序機械（csm）を一般化したモデルとして gsm（generalized sequential machine）があります[1-5]．
(3) 上図の M は２進数列の１を正極性のパルス p と負極性のパルス n に交互に変換します（ベースバンド伝送での直流遮断のため）[1-6]．

[0-1] 電子情報通信学会知識ベース ｜2編 計算論とオートマトン
  http://www.ieice-hbkb.org/portal/doc_242.html
  1章 オートマトンと言語, http://www.ieice-hbkb.org/files/06/06gun_02hen_01.pdf
  2章 有限オートマトンと正則表現, http://www.ieice-hbkb.org/files/06/06gun_02hen_02.pdf
  3章 文脈自由文法とプッシュダウンオートマトン, http://www.ieice-hbkb.org/files/06/06gun_02hen_03.pdf
  4章 チューリング機械, http://www.ieice-hbkb.org/files/06/06gun_02hen_04.pdf
  5章 決定性，非決定性計算の複雑さ, http://www.ieice-hbkb.org/files/06/06gun_02hen_05.pdf
  6章 様々な計算モデルにおける計算複雑さ, http://www.ieice-hbkb.org/files/06/06gun_02hen_06.pdf
  7章 トピックス. http://www.ieice-hbkb.org/files/06/06gun_02hen_07.pdf
[0-2] オートマトン - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%88%E3%83%B3
[0-3] オートマトンNOTE
  http://deepwave.web.fc2.com/automata1.pdf
  http://deepwave.web.fc2.com/automata2.pdf
[0-4] オートマトンと形式言語
  http://www.enel.ucalgary.ca/People/far/Lectures/Automaton/PDF/automaton.pdf
[0-5] オートマトン・形式言語及び演習
  http://www.trs.cm.is.nagoya-u.ac.jp/~sakai/lecture/automata/
------------------------------------------
[1-1] 順序機械
  http://wwws.kobe-c.ac.jp/deguchi/sc180/fa/fa.html
[1-2] 2.6 順序機械と状態最小化
  http://ocw.kyushu-u.ac.jp/0005/0003/lecture/2_6.pdf
[1-3] 順序機械の最小実現について
  http://sakura.math.kyushu-u.ac.jp/wiki/index.php
[1-4] Tuple - Wikipedia, the free encyclopedia
  http://en.wikipedia.org/wiki/Tuple
[1-5 GSM Mappings - PlanetMath
  http://planetmath.org/encyclopedia/Gsm.html
[1-6] 宮崎技術研究所 データ伝送基礎講座 6.1 「符号化の概要」
  http://www.miyazaki-gijutsu.com/series3/denso061.html

非線形制御 (7)

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目的関数の最小化

#57: 最適制御

複雑なシステムを制御するときは，ある状態変数を0に近づけるというよりも，適当な目的関数を定めてその値が極値に近づくように制御します．[#]の簡単な例では |ψ(n)-ψ(0)| が目的関数です．

補足：(1) w₁(n) = A_n sin θ_n, w₂(n) = A_n sin (θ_n - ω) により瞬時振幅 A_n と瞬時位相 θ_n を定義できます．|w₂(n)| が小さいときは瞬時位相を制御し，そうでないときは瞬時振幅を制御するように目的関数を定めて切捨てと切り上げを選択すると特性が向上します．
(2) レギュレータ，オブザーバ，カルマンフィルタ等まで言及し切れませんでした．Web 上の他の資料をご覧下さい．

sys.pdf に sys5.pdf と対応する付録を追加し，sys5.pdf を削除しました．

[7-1] 2 章 最適制御の理論
  http://www.esri.go.jp/jp/archive/bun/bun120/bun115b.pdf
[7-2] 状態フィードバックとオブザーバ
  http://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/rde/contents/course/controlII/statefeedback.html
[7-3] 時変系の場合
  http://ysserve.wakasato.jp/Lecture/ControlMecha5/node25.html
[7-4] Nishikawa Lab :: 時変な系のシミュレーション
  http://ifnks1.sd.tmu.ac.jp/concrete5/programming-how-to/matlab/timevaring/
[7-5] カルマンフィルター - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC
[7-6]  したものである(「初心者の、初心者による、初心者のためのカルマンフィルタ
  http://www1.accsnet.ne.jp/~aml00731/kalman.pdf

非線形制御 (6)

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リアプノフ関数

#56: 安定性

制御系の安定性には入出力安定性と内部安定性があり，後者には安定さの程度によっていくつかの定義があります．
※ 一様安定，一様漸近安定，大域的一様漸近安定，大域的指数安定．

補足：(1) リアプノフ関数を回路に蓄積されているエネルギーに対応させる説明が多いようです
(2) v(n) は状態ベクトルの線形結合なので ψ(n) を状態ベクトルの２次形式で表現できます（付録で補足）．なお，通常はリアプノフ関数をψでなく V で表します．
(3) 帰還路内に非線形素子が１個しかないとき（ルーリエ系）は線形系に対するナイキストの方法と類似の方法（ポポフ軌跡）で検討できます．

[6-1] 非線形制御特論講義ノート
  http://www.haya.nuem.nagoya-u.ac.jp/~fujimoto/nonlinear.pdf
  3.1 リアプノフの安定性解析，3.2 リアプノフの方法の拡張，3.3 フィードバック安定性，  3.4 入出力安定性，3.5 消散性．
[6-2] リアプノフの安定性理論
  http://www.gifu-nct.ac.jp/elcon/labo/endo-n/endo/lecture/syscon/node24.html
-------------------------------
[6-3] 非線形制御 -消す非線形から生かす非線形へY
  http://www.haya.nuem.nagoya-u.ac.jp/~fujimoto/ftp/mc03b.pdf
[6-4]  ゲインスケジューリング理論に基づく 非線形制御系の解析設計法 ...
  http://dspace.wul.waseda.ac.jp/dspace/bitstream/2065/33323/1/Uchida2_09650490.pdf
[6-5] セグメント安定性概念に基づく 制御システムのロバスト安定解析・
  http://repository.lib.kit.ac.jp/dspace/bitstream/10212/1614/1/KOU502.PDF
[6-6] 多変数ルーリエ系に対するポポフ型安定条件の拡張
  https://www.jstage.jst.go.jp/article/iscie1988/6/9/6_9_416/_pdf

非線形制御 (5)

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作図による解の直接表示

#55: 解軌道

状態ベクトルの軌跡を解軌道といいます．離散力学系の場合は各時刻の状態を折れ線でつないで表示することになりますが，１次元の場合は上図のように解を求める作図をそのまま表示することがよく行われます．

補足：(1) 上図の写像 f をロジスティック写像といい，ａの値によってカオスが発生します．
(2) ｘに関する２次の非線形常微分方程式を１次の連立微分方程式に変換したとき，(x(t), x'(t)) を状態ベクトルとして平面上に軌跡を描くことができます．この平面を位相面といいます．
(3) [#54] の非線形素子は微視的には非線形性が強く，巨視的には非線形性が弱いので，入力が大振幅のときの折れ線は線形系の解軌道と似ています．

[5-] 力学系 - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E7%B3%BB
[5-] 力学系とプログラミング基礎
  http://www.jaist.ac.jp/~t-yama/K116/MathApp08-04.pdf
[5-] 状態面及び位相面解析
  http://ysserve.wakasato.jp/Lecture/ControlMecha5/node16.html
[5-] 第3章 相平面解析
  http://www.sys.eng.shizuoka.ac.jp/~miyazaki/Kougi/Nonlin1/nonlin1_03.pdf
[5-] ロジスティック式 - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%BC%8F
[5-] カオス理論 - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%AA%E3%82%B9%E7%90%86%E8%AB%96
[5-] 離散力学系入門
  http://cms.db.tokushima-u.ac.jp/DAV/lecture/127092/Seminar/20050521/main.pdf
------------------------------------
[5-] 1 章 非線形力学系
  http://www.ieice-hbkb.org/files/01/01gun_11hen_01.pdf
[5-] はじめに・力学系の歴史と動機（荒井）
  http://www.math.jst.go.jp/ja/suugakujuku/archive/text/1_Arai1.pdf
[5-] 明示的なリャプノフ関数を有する差分方程式について
  http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1541-09.pdf

非線形制御 (4)

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線形近似前の状態方程式

#54: 状態方程式

[&] に例示した状態変数の時間発展は，連続系の場合は１階の連立微分方程式，離散系の場合は１階の連立差分方程式（あるいはこれと等価な漸化式）で記述できます [#31-32]．しかし，記憶のない非線形素子を含む回路では遅延素子の入力は外部からの入力，遅延素子の出力，非線形素子の出力の線形結合として表されているので，時刻 n での値から時刻 n+1 での値を求める前に非線形素子の出力を求めておく必要があります．
※ 制御理論では慣用的に入力は u，状態変数は x で表します（sys.pdf 用の表現を真似しないこと）．

補足：(1) Q，R は[#53]と同様の非線形関数です．v_R(n) を一様乱数で近似せずに v_R(n) = R(a₁w₁ + a₁w₁ + x(n)) の解を用いれば（解析はむりでも数値計算で）出力の厳密解が得られますが，このときは回路図の下の v_R(n) のない式の方が簡単です（零入力リミットサイクルの計算等）．
(2) 回路内には遅延素子を含まないループはないものとします．
(3) 回路の機能を記述するには状態方程式の他に出力方程式が必要です [4-4]．
(4) ｚ伝達関数が単位円上に極を持つ線形回路は不安定ですが，controlled rounding によって安定化することができます．例えば所定の周波数の正弦波発振器の出力は [4-7] に示されている方法（連続する２個の標本値から瞬時振幅，位相ジッタを計算して制御する）で安定化できます．

[4-1] 状態空間 (制御理論) - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8A%B6%E6%85%8B%E7%A9%BA%E9%96%93_(%E5%88%B6%E5%BE%A1%E7%90%86%E8%AB%96)
[4-2] 状態制御論
  http://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/rde/contents/course/controlII/statecontrol.html
[4-3] 状態変数と状態方程式
  http://www.gifu-nct.ac.jp/elcon/labo/endo-n/endo/lecture/syscon/sysconh16.html
[4-4] 制御理論II --- 状態方程式と伝達関数
  http://lab.cntl.kyutech.ac.jp/~kobalab/nishida/pdf/09no2.pdf
[4-5] 制御工学 状態方程式に基づくシステム表現
  http://www-watt.mech.eng.osaka-u.ac.jp/~tasai/published/2007.9.21.pdf
[4-6] 状態空間モデルとは何かを説明してください。 観測方程式と状態.. - 人力 ...
  http://q.hatena.ne.jp/1168666353
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[4-7] Highly accurate digital sinusoidal oscillators using controlled rounding
  http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?reload=true&arnumber=15384