ある人から数学の家庭教師を頼まれた。公務員試験対策で、数学も試験科目に入っていて、レベルは高校数学です。週一回なので突っ込んだことは教えられないけれど、私も楽しんで復習しています。大筋は終わったのですが、整数の問題が分からないというメールを貰いました。
7で割ると6余り、8で割ると7余る様な1000以下の自然数はいくつあるか。
団塊世代の教育課程では整数論は体系的に教えてもらった記憶がありません。確認のために当時の教科書（私の使った1964年版）を覗いてみました。整式の公約数・公倍数の記述はありましたが、整数のまとまった議論は全くありません。現在の教育課程ではどうでしょうか？現行の学習指導要領を文科省のサイトで見ると、数学Ｂに「数値計算とコンピュータ」があり、（ア）整数の計算でユークリッドの互除法を教えることになっていました。しかし数論を体系的に学ぶことからは遠いと感じます。
それで、予備知識を前提としない初等的な解法を示します。
条件を満足する自然数の最小値を求める事が第一の目標です。この数をＮとします。自然数Ｎをaで割った時の商をq、余りをrとすると
Ｎ＝aq＋ｒ
と書け、qとrは一通りに定まります。題意から
N＝７a＋６
N＝８b＋７
ですから
７a＋６＝８b＋７
a＝（８b＋１）/7
aが整数であるためには（８b＋１）が７の倍数でなけなりません。この条件を満たすｂの最小値は６です。ｂが決まるとaの値も７であることが分かります。従って
N＝７×７＋６＝８×６＋７＝５５
最小値は５５であることが分かりました。５５の次の数、その次の数は５５の倍数でしょうか？実際に55×2＝110で計算すれば誤りであることが分かります。
Nを７で割っても８で割っても余りが５５となるように
N＝56t+55（t＝0,1,2、・・・・）
であればよいことが分かります。56t+55＜1000を解いて、ｔ＜16.875。ｔ＝16の時、最大値は951です。
従って、求める自然数の個数は１７個です。
さて７a＋６＝８b＋７ を以下のように変形します。
７aー８b＝１
７と８は互いに素ですから（最大公約数が１）、上の関係を満たす整数aとｂが存在します。これらを求めるのがDiophantosの方程式です。久しぶりにゲリファントの本も読み返しました。
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7で割ると6余り、8で割ると7余る様な1000以下の自然数はいくつあるか。
団塊世代の教育課程では整数論は体系的に教えてもらった記憶がありません。確認のために当時の教科書（私の使った1964年版）を覗いてみました。整式の公約数・公倍数の記述はありましたが、整数のまとまった議論は全くありません。現在の教育課程ではどうでしょうか？現行の学習指導要領を文科省のサイトで見ると、数学Ｂに「数値計算とコンピュータ」があり、（ア）整数の計算でユークリッドの互除法を教えることになっていました。しかし数論を体系的に学ぶことからは遠いと感じます。
それで、予備知識を前提としない初等的な解法を示します。
条件を満足する自然数の最小値を求める事が第一の目標です。この数をＮとします。自然数Ｎをaで割った時の商をq、余りをrとすると
Ｎ＝aq＋ｒ
と書け、qとrは一通りに定まります。題意から
N＝７a＋６
N＝８b＋７
ですから
７a＋６＝８b＋７
a＝（８b＋１）/7
aが整数であるためには（８b＋１）が７の倍数でなけなりません。この条件を満たすｂの最小値は６です。ｂが決まるとaの値も７であることが分かります。従って
N＝７×７＋６＝８×６＋７＝５５
最小値は５５であることが分かりました。５５の次の数、その次の数は５５の倍数でしょうか？実際に55×2＝110で計算すれば誤りであることが分かります。
Nを７で割っても８で割っても余りが５５となるように
N＝56t+55（t＝0,1,2、・・・・）
であればよいことが分かります。56t+55＜1000を解いて、ｔ＜16.875。ｔ＝16の時、最大値は951です。
従って、求める自然数の個数は１７個です。
さて７a＋６＝８b＋７ を以下のように変形します。
７aー８b＝１
７と８は互いに素ですから（最大公約数が１）、上の関係を満たす整数aとｂが存在します。これらを求めるのがDiophantosの方程式です。久しぶりにゲリファントの本も読み返しました。
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