算額（その915）

算額（その915）

一〇八 加須市騎西町 玉敷神社 大正4年(1915)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

正方形の中に2本の平行な斜線を引き，小円を 4 個入れる。正方形の一辺の長さが 1 寸のとき，小円の直径はいかほどか。

正方形の一辺の長さを a
小円の半径と中心座標を r, (r, r), (a - r, r)
斜線と正方形の辺との交点座標を (b, 0), (a, a - b)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r::positive
eq1 = dist2(b, 0, a, a - b, r, r, r)
eq2 = dist2(b, 0, a, a - b, a - r, r, r)
(r, b) = solve([eq1, eq2], (r, b))[2]  # 2 of 3

   ((1 - sqrt(2)/2)*(-2*a^2*(1 - sqrt(2)/2)^2 + 2*a^2*(1 - sqrt(2)/2) + a^2)/(2*a), a*(1 - sqrt(2)/2))

式は簡約化できる。

r |> simplify |> println
b |>  simplify |> println

   a*(-1 + sqrt(2))/2
   a*(2 - sqrt(2))/2

等円の半径は正方形の一辺の長さの (√2 - 1)/2 倍
正方形の一辺の長さが 1 寸のとき，等円の直径は √2 - 1 = 0.41421356237309515 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   a = 1
   (r, b) = a .* ((√2 - 1)/2, 1 - √2/2)
   @printf("正方形の一辺の長さが %g 寸のとき，小円の直径は %g 寸\n", a, 2r)
   @printf("a = %g;  r = %g;  b = %g\n", a, r, b)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5,
       xlims=(-0.05a, 1.17a), ylims=(-0.05a, 1.05a))
   circle(r, r, r)
   circle(a - r, r, r)
   circle(r, a - r, r)
   circle(a - r, a - r, r)
   segment(b, 0, a, a - b, :green)
   segment(0, b, a - b, a, :green)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, a, "a ", :green, :right, :vcenter)
       point(a, 0, "a", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(a, a - b, " (a,a-b)", :green, :left, :vcenter)
       point(b, 0, "b", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(r, r, "小円:r,(r,r)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(a - r, r, "小円:r,(a - r,r)", :red, :center, delta=-delta/2)
   end
end;