和算の心（その006）
直線上の 3 個の円
直線上に，甲円，乙円，丙円が互いに接しており，この順序で載っている。甲円，乙円と直線の接点間の距離（以下では，水平距離と呼ぶ）を求めよ。
甲円，乙円，丙円の半径を r1，r2，r3 とする。
1. 一般的な場合
次節で述べる特別な場合，すなわち 3 円が互いに接している（甲円と乙円も接している）場合よりも甲円と丙円が離れている場合である。
甲円と乙円，乙円と丙円の水平距離は ，
である。（和算の心（その002））
結果として，甲円と丙円の水平距離は になる。
甲円の半径と中心座標を r1, (0, r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (x3, r3)
とおき，以下の連立方程式を解き x3 を求める。
include("julia-source.txt");
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, r3::positive, x3::positive
eq1 = x2^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = (x3 - x2)^2 + (r3 - r2)^2 - (r3 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2], (x2, x3));
SymPy では，これ以上は自動的に簡約化されないが，2√r2(√r1 + √r3) である。
res[2][2] |> simplify
res[2][2](√r1 => r1, √r3 => r3) |> factor |> (x -> x(r1 => √r1, r3 => √r3))
using LaTeXStrings
function draw(r1=3, r2=2, r3=1, more=false)
#pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
gr(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="Helvetica")
x2 = 2√(r1*r2)
x3 = 2√r2*(√r1 + √r3)
@printf("r1 = %g; r2 = %g; x2 = %g; r3 = %g; x3 = %g\n", r1, r2, x2, r3, x3)
p1 = plot(ylims=(-0.05r1, 1.05*2r1), showaxis=false)
circle(0, r1, r1)
circle(x2, r2, r2, :blue)
circle(x3, r3, r3, :green)
segment(-r1, 0, x3+r3, 0, :black)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, r1, L"r_1,(0,r_1)", :red, :center, delta=-delta)
point(x2, r2, L"r_2,(x_2,r_2)", :blue, :center, delta=-delta)
point(x3, r3, L"r_3,(x_3,r_3)", :green, :center, delta=-delta)
point(x3 - r3, 1.3*2r3, L"x_3 = 2\sqrt{r_2}(\sqrt{r_1} + \sqrt{r_3})", mark=false)
point(x3 - r3, 1.15*2r3, L"x_2 = 2\sqrt{r_1 r_2})", mark=false)
end
display(p1)
end;
draw(3, 1, 2, true)
r1 = 3; r2 = 1; x2 = 3.4641; r3 = 2; x3 = 6.29253
2. 3 個の円が互いに接する場合
この状況では，乙円の半径には制約が付く（どのような値でも取れるわけではない）。そのため，甲円と乙円，乙円と丙円の水平距離は簡単な数式では表せない。しかし，甲円と丙円の水平距離は と簡単なままである。
甲円の半径と中心座標を r1, (0, r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (x3, r3)
とおき以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt");
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, r3::positive, x3::positive
eq1 = x2^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = (x3 - x2)^2 + (r3 - r2)^2 - (r3 + r2)^2
eq3 = x3^2 + (r1 - r3)^2 - (r1 + r3)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, x2, x3));
SymPy でこの連立方程式を解くと，r2 と x2 は複雑な式になる。
res[1][1] # r2
√r1 => r1, √r3 => r3 と変換したうえで因数分解し，r1 => √r1, r3 => √r3 でもとに戻すと簡約化された式になる。
res[1][1](√r1 => r1, √r3 => r3) |> factor |> (x -> x(r1 => √r1, r3 => √r3))
res[1][2] # x2
res[1][2](√r1 => r1, √r3 => r3) |> factor |> (x -> x(r1 => √r1, r3 => √r3))
x3 は簡潔な式のままである。
res[1][3] #x3
別の関係式を使って連立方程式を解くと，特別なことをしないでも簡潔な式が得られる。
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, r3::positive, x3::positive
eq1 = x2 - 2√(r1*r2)
eq2 = x3 - 2√(r1*r3)
eq3 = (x3 - x2) - 2√(r2*r3)
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r2, x2, x3));
res[1][1] |> display
res[1][2] |> display
res[1][3] |> display
デカルトの円定理による場合
デカルトの円定理は，半径の関係のみである。半径を求めた後で，位置を求めればよい。
@syms r1::positive, r2::positive, r3::positive
r2 = 1/(1/r1 + 1/r3 + 2√(1/(r1*r3)))
これも，√r1 => r1, √r3 => r3 と変換したうえで因数分解し，r1 => √r1, r3 => √r3 でもとに戻すと簡約化された式になる。
r2(√r1 => r1, √r3 => r3) |> factor |> (x -> x(r1 => √r1, r3 => √r3))
using LaTeXStrings
function draw(r1=3, r3=1, more=false)
#pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
gr(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="Helvetica")
(r2, x2, x3) = (r1*r3/(sqrt(r1) + sqrt(r3))^2, 2*r1*sqrt(r3)/(sqrt(r1) + sqrt(r3)), 2*sqrt(r1)*sqrt(r3))
@printf("r1 = %g; r2 = %g; x2 = %g; r3 = %g; x3 = %g\n", r1, r2, x2, r3, x3)
p1 = plot(ylims=(-0.05r1, 1.05*2r1), showaxis=false)
circle(0, r1, r1)
circle(x2, r2, r2, :blue)
circle(x3, r3, r3, :green)
segment(-r1, 0, x3+r3, 0, :black)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, r1, L"r_1,(0,r_1)", :red, :center, delta=-delta)
point(x2, r2, L"r_2,(x_2,r_2)", :blue, :center, delta=-delta)
point(x3, r3, L"r_3,(x_3,r_3)", :green, :center, delta=-delta)
point(x3 - r3, 1.45*2r3, L"r_2 = \frac{r_1 r_3}{(\sqrt{r1} + \sqrt{r3})^2}", mark=false)
point(x3 - r3, 1.15*2r3, L"x_3 = 2\sqrt{r_1 r_3}", mark=false)
end
display(p1)
end;
draw(3, 2, true)
r1 = 3; r2 = 0.606123; x2 = 2.69694; r3 = 2; x3 = 4.89898
3. 3 個の円が互いに接し，両端の円の半径が等しい場合
乙円，丙円の中心座標を (x2, r2), (x3, r3) とするが，2√(r1*r2) + 2√(r2*r3) = 2√(r1*r3) となる。
x2 = r1, x3 = 2r1 は自明である。
さらに，r1 = r3 である。
以下の方程式を解くと r2 = r1/4 であることがわかる。
include("julia-source.txt");
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, r3::positive, x3::positive
x2 = r1
eq1 = r1^2 + (x2 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
solve(eq1, r2)[1] # r2
または，前節で得られた r2 の式を r3 = r1 として簡約化すればよい。
r3 = r1
r1*r3/(sqrt(r1) + sqrt(r3))^2 # r2
または，もう少し前の方程式をr3 = r1 として解いてもよい。
r3 = r1
eq = 2√(r1*r2) + 2√(r2*r3) - 2√(r1*r3)
solve(eq, r2)[1] # r2
using LaTeXStrings
function draw(r1, more=false)
#pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
gr(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="Helvetica")
r3 = r1
x3 = 2r1
r2 = r1/4
x2 = r1
@printf("r1 = %g; r2 = %g; x2 = %g; r3 = %g; x3 = %g\n", r1, r2, x2, r3, x3)
p1 = plot(ylims=(-0.05r1, 1.05*2r1), showaxis=false)
circle(0, r1, r1)
circle(x2, r2, r2, :blue)
circle(x3, r3, r3, :green)
segment(-r1, 0, x3 + r3, 0, :black)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, r1, L"r_1,(0,r_1)", :red, :center, delta=-delta)
point(x2, r2, L"r_2,(x_2,r_2)", :blue, :center, delta=-delta)
point(x3, r3, L"r_3,(x_3,r_3)", :green, :center, delta=-delta)
point(x3 - r3, 1.15*2r3, L"$r_3 = r_1,\ x_3 = 2r_1$", mark=false)
point(x3 - r3, 1.3*2r3, L"$r_2 = \frac{r_1}{4},\ x_2 = r_1$", mark=false)
end
display(p1)
end;
draw(3, true)
r1 = 3; r2 = 0.75; x2 = 3; r3 = 3; x3 = 6
