算額（その1078）

算額（その1078）

百 大船渡市猪川町 雨宝堂 現雨宝山竜宝院 文政10年(1827)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円2個，正三角形，正方形

正方形の中に正三角形 2 個と月円，日円の 2 個の円を容れる。月円の直径が 1 寸のとき，日円の直径はいかほどか。

正方形の一辺の長さを a
正三角形の頂点の座標を (0, b), (b, 0), (a/2, √3a/2)
日円の半径と中心座標を r1, (x1, y1); y1 = x1
月円の半径と中心座標を r2, (r2, y2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

日円と月円の方程式は独立なので，別々に解く。

1.　日円について

include("julia-source.txt")

using SymPy

@syms a::positive, b::positive,
     r1::positive, x1::positive, y1::positive,
     r2::positive, y2::positive
b = a*(√Sym(3) - 1)  # a - 2(a - √Sym(3)a/2)
y1 = x1
eq1 = dist2(0, b, a, a, x1, y1, r1)
eq2 = dist2(a/2, √Sym(3)a/2, a, 0, x1, y1, r1)
res1 = solve([eq1, eq2], (r1, x1))[2];
r1 = apart(res1[1]) |> simplify
r1 |> println
x1 = apart(res1[2]) |> simplify
x1 |> println

   a*(-1 + sqrt(3))*sqrt(1 + sqrt(3))*sqrt(-sqrt(2) + sqrt(3))/4
   a*(-sqrt(2) + 2 + sqrt(6))/4

日円の半径は正方形の一辺の長さの (√3 - 1)*sqrt(3 - √6 + √3 - √2)/4 倍である。

2.　月円について

r2 = y2*(2 - √Sym(3))
eq3 = dist2(0, b, b, 0, r2, y2, r2)
y2 = solve(eq3, y2)[2]
y2 = y2 |> sympy.sqrtdenest |> simplify
r2 = y2*(2 - √Sym(3)) |> simplify
r2 |> println
y2 |> println

   a*(-7*sqrt(2) - 5*sqrt(3) + 9 + 4*sqrt(6))/2
   a*(-2*sqrt(2) - sqrt(3) + sqrt(6) + 3)/2

月円の半径は正方形の一辺の長さの (-7√2 - 5√3 + 9 + 4√6)/2 倍である。

3.　月円と日円の比について

月円の直径が 1 のときの日円の直径は r2/r1 = 1.43185165257814 である。

ついでに，月円の直径が 1 寸になるときの正方形の一辺の長さを求めてみる。

@syms d
日円の直径 = apart(r1/r2, d) |> simplify
日円の直径 |> println
日円の直径.evalf() |> println

   -1/2 + sqrt(2)/2 + sqrt(6)/2
   1.43185165257814

正方形（小正三角形）の一辺 の長さは r2 = 1/2 を解いて，a = √2/4 + √6/4 + 3/2 + √3 = 4.197976633857945 である。

eq = r2 - 1//2
res = solve(eq, a)[1]
ans_a = apart(res[1], d)
ans_a |> println
ans_a.evalf() |> println

   sqrt(2)/4 + sqrt(6)/4 + 3/2 + sqrt(3)
   4.19797663385795

4.　図を描いて確認する

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   a = sqrt(2)/4 + sqrt(6)/4 + 3/2 + sqrt(3)
   b = a*(√3 - 1)
   r1 = a*(√3 - 1)*sqrt(3 - √6 + √3 - √2)/4
   x1 = a*(-√2 + 2 + √6)/4
   r2 = a*(-7√2 - 5√3 + 9 + 4√6)/2
   y2 = a*(-2√2 - √3 + √6 + 3)/2
   @printf("月円の直径が %g のとき，日円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
   @printf("a = %g;  r1 = %g;  x1 = %g;  r2 = %g;  y2 = %g\n", a, r1, x1, r2, y2)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a], color=:blue, lw=0.5)
   plot!([0, a, a/2, 0], [0, 0, √3a/2, 0], color=:green, lw=0.5)
   plot!([b, a, 0, b], [0, a, b, 0], color=:magenta, lw=0.5)
   circle(x1, x1, r1)
   circle(r2, y2, r2, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, a, "a ", :blue, :right, :vcenter)
       point(x1, x1, "日円:r1,(x1,x1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(r2, y2, "月円:r2,(r2,y2)", :orange, :center, delta=-delta/2)
       point(0, b, "b ", :blue, :right, :vcenter)
       point(b, 0, "b", :blue, :center, delta=-delta)
       point(a/2, √3a/2, "(a/2,√3a/2)", :green, :center, :bottom, delta=delta, deltax=-3delta)
       plot!(xlims=(-5delta, a + 5delta), ylims=(-5delta, a + 5delta))
   end
end;