算額（その662）

算額（その662）

茨城県笠間市福原 吾國山上頂神（吾国山上頂神前） 文化7年(1810)
中村信弥(2001)：幻の算額
http://www.wasan.jp/maborosi/maborosi.html

長径，短径が 8 寸，6 寸の菱形の中に一辺の長さ 3 寸の正方形と斜線が入っている。斜線の長さはいかほどか。

斜線と菱形の辺の交点座標を (x, y) とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");
# julia-source.txt ソース　https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf

using SymPy
@syms x::negative, y::negative
(a, b) = (Sym(4), Sym(3))
eq1 = (b - y)/(-x) - b//2
eq2 = sqrt((a + x)^2 + (-y)^2) + sqrt((-x)^2 + (b + y)^2) - sqrt(a^2 + b^2)
res = solve([eq1, eq2], (x, y))

   1-element Vector{Tuple{Sym, Sym}}:
    (-8/3, -1)

(x, y) = (-8/3, -1)
長さは sqrt(x^2 + (b - y)^2) = 4√13/3 = 4.80740170061865，4寸8分あまりである。

(x, y) = res[1]
長さ = sqrt(x^2 + (b - y)^2)
(長さ, 長さ.evalf()) |> println

   (4*sqrt(13)/3, 4.80740170061865)

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (a, b) = (4, 3)
   (x, y) = (-8/3, -1)
   plot([a, 0, -a, 0, a], [0, b, 0, -b, 0], color=:green, lw=0.5)
   plot!([2, -1, -1, 2, 2], [3/2, 3/2, -3/2, -3/2, 3/2], color=:orange, lw=0.5)
   segment(0, 3, x, y)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(x, y, "(x,y) ", :red, :right, :vcenter)
       point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom)
       point(0, b, " b", :green, :left, :bottom)
       point(a/2, b/2, " (a/2,b/", :green, :left, :bottom)
   end
end;

 

算額（その661）

算額（その661）

茨城県東海村 村松虚空蔵（村松虚空蔵尊） 文化15年(1818)
中村信弥(2001)：幻の算額
http://www.wasan.jp/maborosi/maborosi.html

正三角形内に全円が内接している。2本の斜線を引き，区画領域に甲円，乙円を入れる。甲円の直径が 6 寸のとき，乙円の直径を求めよ。

正三角形の一辺の長さを 2a とし，斜線と底辺の交点座標を (b, 0) とする。
全円の半径と中心座標を r0, (0, r0)
甲円の半径と中心座標を r1, (x1, r1)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, 2r0 + r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");
# julia-source.txt ソース　https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r0::positive,
     r1::positive, x1::positive, r2::positive
eq0 = r0 - a/√(Sym(3))
eq1 = (a - x1)/√(Sym(3)) - r1
eq2 = r2/(√(Sym(3))a - 2r0 - r2) - b/sqrt(b^2 + 3a^2)
eq3 = x1^2 + (r0 - r1)^2 - (r0 + r1)^2
eq4 = dist(0, √(Sym(3))a, b, 0, x1, r1) - r1^2
res = solve([eq0, eq1, eq2, eq3, eq4], (a, b, r0, r2, x1))

   2-element Vector{NTuple{5, Sym}}:
    (3*sqrt(3)*r1, 11*sqrt(3)*r1/7, 3*r1, 33*r1/49, 2*sqrt(3)*r1)
    (3*sqrt(3)*r1, 3*sqrt(3)*r1, 3*r1, r1, 2*sqrt(3)*r1)

2 組の解が得られるが，最初のものが適解である。

乙円の半径は甲円の半径の 33/49 倍である。「術」でも「置甲円径三十三因四十九除而得乙円径」とあり，一致する。
甲円の直径が 6 のとき，乙円の直径は 6*33/49 = 4.040816326530612 となる。「答」には，「乙円径四寸九分寸之二」とあるが，「乙円径四寸四九分寸之二（4 寸と 2/49）」の誤りだそうだ。

4 + 2/49, (4*49 + 2)/49, 198/49

   (4.040816326530612, 4.040816326530612, 4.040816326530612)

その他のパラメータは以下の通り。

 r1 = 3;  a = 15.5885;  b = 8.16538;  r0 = 9;  r2 = 2.02041;  x1 = 10.3923

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 6//2
   (a, b, r0, r2, x1) = (3*sqrt(3)*r1, 11*sqrt(3)*r1/7, 3*r1, 33*r1/49, 2*sqrt(3)*r1)
   @printf("乙円の直径 = %g;  r1 = %g;  a = %g;  b = %g;  r0 = %g;  r2 = %g;  x1 = %g\n", 2r2, r1, a, b, r0, r2, x1)
   plot([a, 0, -a, 0], [0, √3a, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   plot!([b, 0, -b], [0, √3a, 0], color=:orange, lw=0.5)
   circle(0, r0, r0)
   circle(x1, r1, r1, :blue)
   circle(-x1, r1, r1, :blue)
   circle(0, 2r0 + r2, r2, :magenta)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(0, r0, " 全円:r0\n (0,r0)", :red, :left, :vcenter)
       point(x1, r1, " 甲円:r1,(x1,r1)", :black, :center, delta=-delta/2)
       point(0, 2r0 + r2, " 乙円:r2,(2r0+r2)", :black, :left, :vcenter)
       point(0, √3a, " √3a", :green, :left, :bottom)
       point(a, 0, "a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

算額（その660）

算額（その660）

二十六　岩手県一関市萩荘 赤萩観音寺 佐藤亀蔵 弘化4年(1847)

山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市. http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

相馬美貴子: 連載 和算資料の電子化(4): 一関の和算，東北大学附属図書館報 木這子，ISSN 0385-7506, Vol. 29, No. 1, pp. 5-8, 2004.

https://www.library.tohoku.ac.jp/about/kiboko/29-1/kbk29-1.pdf

算額の図，問，答，術は，一関市博物館 https://www.city.ichinoseki.iwate.jp/museum/より引用されているが，最終リンクが示されていない（「現存 岩手の算額」であろう）。

直角三角形の中に正方形，大円 1 個，中円 3 個，小円 2 個が入っている。小円の直径が与えられたとき，大円の直径を求めよ。

直角三角形の直角を挟む二辺の長い方（底辺）を「股」，短い方を「鈎」とする。
正方形の一辺の長さを a とする。中円の半径は a/4 である。
大円の半径と中心座標を r1,(股 - a - r1, r1)
中円の半径と中心座標を r2, (股 - r2, a + r2), (股 - a/2, r2)
小円の半径と中心座標を r3, (股 - r3, a/2)

とおき，以下の連立方程式を解き a, 鈎, 股, r3 を求める。それぞれの式には r1 が含まれる。
注：r3 を式に含む「a, 鈎, 股, r1」を求めようとすると SymPy ではエラーが発生する。

include("julia-source.txt");
# julia-source.txt ソース　https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/ad3a427b84bb416c4f5b73089ae813cf

using SymPy
@syms a::positive, 鈎::positive, 股::positive,
     r1::positive, r2::positive, r3::positive
r2 = a/4
eq1 = (a/2 - r3)^2 + (a/2 - r2)^2 - (r2 + r3)^2
eq2 = r2/r1 - a/(股 - a)
eq3 = (股 -  a)*a/2 + a*(鈎 - a)/2 + a^2 - 鈎*股/2
eq4 = (股 - a) + a - sqrt((股 - a)^2 + a^2) - 2r1
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (a, 鈎, 股, r3))

   1-element Vector{NTuple{4, Sym}}:
    (3*r1, 21*r1/4, 7*r1, r1/2)

a, 鈎, 股, r3 はそれぞれ大円の半径(r1) の 3, 21/4, 7, 1/2 倍である。
r2 は 3/4 倍である。

大円の直径は小円の直径の 2 倍である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 2
   (a, 鈎, 股, r3) =  r1 .* (3, 21/4, 7, 1/2)
   r2 = a/4
   @printf("a = %g;  鈎 = %g;  股 = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g\n", a, 鈎, 股, r1, r2, r3)
   plot([0, 股, 股, 0], [0, 0, 鈎, 0], color=:green, lw=0.5)
   plot!([股 - a, 股, 股, 股 - a, 股 - a], [ 0, 0, a, a, 0], color=:orange, lw=0.5)
   circle(股 - a - r1, r1, r1)
   circle(股 - r2, a + r2, r2, :blue)
   circle(股 - a/2, r2, r2, :blue)
   circle(股 - a/2, 3r2, r2, :blue)
   circle(股 - a + r3, a/2, r3, :magenta)
   circle(股 - r3, a/2, r3, :magenta)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(股 - r3, a/2, "小円:r3\n(股-r3,a/2)", :black, :center, delta=-delta)
       point(股 - a/2, r2, "中円:r2\n(股-a/2,r2)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(股 - r2, a + r2, "中円:r2\n(股-r2,a+r2)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(股 - a - r1, r1, "大円:r1\n(股-a-r1,r1)", :red, :center, delta=-delta)
       point(股 - a, a, "(股-a,a) ", :orange, :right, :bottom)
       point(股, 0, " 股", :green, :left, :bottom, delta=delta)
       point(股, 鈎, "(股,鈎)", :green, :right, :bottom, delta=delta)
   end
end;