壷中三石仮定

もう少し前になりますが、
こんな仮定の記事を書いたことがあります。

９月７日記事へ

このときの書き方では難しかったということもあって
簡単に条件と期待値を分数ではなく、小数で書こうと思います。

＞命題）
＞
＞壷の中にボールが３つ入っていて、
＞ボールには（３），（１），（０）のいずれかの数字が書いてある。
＞
＞可能性としては、（３）のボール３つのときもあるし、
＞（３，１，０）各１個の時もある。
＞
＞１回毎にボールを１個取り出して、数字を確認して壷に戻す。
＞ボールを３回取り出して、数字を確認して、戻す。
＞
＞このときに、３回の試行によるそれぞれの数字の発生で、
＞４回目のボールに書いてある数字の期待値を求めよ。


まず、簡単な
（３１０）
壷の中にある石は（３、１，０）
期待値は（３＊１／３＋１＊１／３＋０＊１／３）＝１．３３

２種類の数が現れた
（３３１）のとき
２回出た数字の出る確率は４／７
１回出た数字の出る確率は２／７
出ていない数字の出る確率は１／７

３回の試行と期待値を書くと
（３３１）＝＞（３＊４＋１＊２＋０＊１）／７＝＞２
（３３０）＝＞（３＊４＋０＊２＋１＊１）／７＝＞１．８６
（３１１）＝＞（１＊４＋３＊２＋０＊１）／７＝＞１．４３
（１１０）＝＞（１＊４＋０＊２＋３＊１）／７＝＞１
（３００）＝＞（０＊４＋３＊２＋１＊１）／７＝＞１
（１００）＝＞（０＊４＋１＊２＋３＊１）／７＝＞０．７１

１種類の試行結果しかない場合は
（３３３）を例にとると

壷の中身は（３）が必ず入るので
ａ（３，３，３），
ｂ（３，３，１），ｃ（３，３，０）
ｄ（３，１，１），ｅ（３，０，０）
ｆ（３，１，０）

～～中略（ref.0927記事）～～

３回の試行で（３３３）が出たときの
推定壷の中のボールは
ａ：ｂ：ｃ：ｄ：ｅ：ｆ＝１６２：４８：４８：６：６：６
　　　　　　　　　　　＝２７：８：８：１：１：１

ａである確立は（２７／４６）で、期待値は（（３＋３＋３）／３）
ｂである確立は（８／４６）で、期待値は（（３＋３＋１）／３）
ｃである確立は（８／４６）で、期待値は（（３＋３＋０）／３）
ｄである確立は（１／４６）で、期待値は（（３＋１＋１）／３）
ｅである確立は（１／４６）で、期待値は（（３＋０＋０）／３）
ｆである確立は（１／４６）で、期待値は（（３＋１＋０）／３）

ａ：そのまま出た石ばっかり
ｂ．ｃ：出た石が２個とその他１個
ｄ．ｅ：出た石が１個とその他２個
ｆ：３種類の石が存在

（３３３）の場合
＝（９＊２７＋７＊８＋６＊８＋５＊１＋３＊１＋４＊１）／１３８
＝（２４３＋５６＋４８＋５＋３＋４）／１３８
＝３５９／１３８＝＞２．６０

（１１１）の場合
＝（３＊２７＋５＊８＋２＊８＋７＊１＋１＊１＋４＊１）／１３８
＝（８１＋４０＋１６＋７＋１＋４）／１３８
＝１４９／１３８＝＞１．０８

（０００）の場合
＝（０＊２７＋３＊８＋１＊８＋６＊１＋３＊１＋４＊１）／１３８
＝（０＋２４＋８＋６＋３＋４）／１３８
＝４５／１３８＝＞０．３３

じしゃく