名寄・算数数学教室より

たかが算数、されど算数
小学生、中学生との算数・数学を使った
コミュニケーションを綴ります

三角形 ・・・・・ 底辺の比が 面積比!!!

2013-10-16 11:42:07 | 一般

ここ北海道にも台風が近づいています

どうなることやら~

 

さて、前回の問題

まずおさらいで、2つの確認!

AD//BC の時、△AOD と △COB は 相似です。

と言うことは、辺の比は 同じですから

AD:CB=AO:CO=DO:BO

そして もう一つ

△ABO と △ADO は、高さが同じですから その面積の比は

底辺の比、BO:DO と 同じです。

 

確認事項は この2つ。

 

もう一度前回の問題を見ますと

下図で、AD//EF//BCのとき、次の問いに単位をつけて答えなさい。

1)EFの長さを求めなさい。

2)△AEOの面積が16㎠のとき台形ABCDの面積を求めなさい。

△AEO と △ABC は 相似です。その辺の比は

AO:(AO+CO)=12:(12+18)=12:30=2:5

EO:BO=2:5=X:18 より  X(EO)=36/5

また△CFO と △CDA も相似で、その辺の比は

CO:(CO+AO)=18:(18+12)=3:5

FO:DO=3:5=Y:12  よりY(FO)=36/5

EF=EO+FO=36/5+36/5=72/5

答え EFは 72/5cm  (5分の72 cm)

 

△AEO と △ABC は 相似です。

その辺の比は2:5 でした。

そして面積の比は 辺の比の2乗ですから  4:25

△AEOの面積が 16㎠ ですから △ABCの面積は 16÷4×25=100

一方、△ACDは △ABC と高さが同じ。その面積比は 底辺の比ですから

△ACD の面積は 100÷18×12=200/3

台形ABCDの面積は 100+200/3=300/3+200/3=500/3 (3分の500)

答え 500/3 ㎠

 

平行の中にできる台形と三角形、

この問題ではすべての三角形の面積が計算できます。


台形の面積 数学検定3級より

2013-10-15 15:20:37 | 一般

数学検定という 試験があります。

英語検定はよく知られているようですが、数学検定は

ちょっと知名度が低いかもしれません。

就職や入試の面接時には役にたつかもしれません。

ただ、それなりに難しく一夜漬けでできるものでもありません。

 

今回は、その数学検定3級(中学1年~高校1年レベル)の問題より

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下図で、AD//EF//BCのとき、次の問いに単位をつけて答えなさい。

1)EFの長さを求めなさい。

2)△AEOの面積が16㎠のとき台形ABCDの面積を求めなさい。

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基本的には、三角形の面積の求め方と、比が分かれば解けるはずなんですが・・・

そうです、小学校で習う算数だけでじゅうぶんなんです。


あまりのある式 逆回転で 考えると~

2013-10-14 12:16:03 | 中学3年

前回の問題は  あまりのある式になりました。


ある2桁の素数Xを 40で割った時のあまりを r とする。

このとき r を11で割るとあまりが 5になる。

ある素数Xを求めなさい。

 

これを、そのまま式にしますと

X÷40=A あまり r

r÷11=B あまり 5

となります。

ところが、このままだと計算がしづらいので

X=40×A+r

r=11×B+5

と書き換えます。

Xを40で割ったあまりが r ですから

r は、40未満!      と言うことは

Bは、1か2か3 ですね。

Xは 素数 という条件より

40×Aが偶数なので、r は奇数のはず!

r が奇数になるためには Bは偶数でないとダメ!

と言うことは、Bは2 しかない!

B=2を 代入して r =11×2+5=27

r =27を代入して

X=40×A+27    ここで、Xは2桁の素数という条件より

Aは1しかない!  A=1を代入すると

X=40×1+27=67     

答え    未知数Xは 67

 

 

最初、未知数が  X  A  B  r  と4つもあったので どうしようか?と思いますが

条件より 未知数の可能性を絞っていくと その数が現れてきます。

計算というより推理ですね。

 


あまりの ある 式 の考え方~

2013-10-12 12:05:52 | 中学3年

小学校のときに習った  あまりのある割り算!

これが、中学に入ってから こんなカタチで復活するとは・・・

 

今回の問題

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ある2桁の素数Xを 40で割った時のあまりを r とする。

このとき r を11で割るとあまりが 5になる。

ある素数Xを求めなさい。

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短い問題です。

でも、複雑!

2桁    素数    あまり

これらのキーワードが、重要です~

 

A÷B=C あまりD     となるとき

B×C+D=A          と書き直せます。

これが ヒント!


どうすればいい?・・・・・1次関数と図形・・・・・

2013-10-11 10:30:43 | 中学2年

前回の問題は、1次関数 Y=aX+2 の a を求める問題でした。

a を求めるために 図形を利用しました。

図解は、よく見ますと長方形と台形です。

長方形と台形の頂点の座標が分かれば面積が分かるはず!

 

というわけで、解答は

直線Y=aX+2  と 辺AB、DCとの交点をP、Qとしますと

下の台形の面積は (上底+下底)×高さ÷2  ですから

(PB+QC)×BC÷2で、これが長方形ABCDの3分の1になります。

PBはPのY座標(2a+2)から BのY座標1を引いた数で 2a+1

QCはQのY座標(6a+2)から CのY座標1を引いた数で 6a+1

高さは、BCの長さで 4

長方形ABCDの面積は 縦6 横4 で、24

これを式にしますと

((2a+1)+(6a+1))×4÷2=24÷3  となり

これを解いて  a=1/4   (または、0.25)

 

座標の中に図形が出てきたときには、

各頂点の座標を考えましょう。また、底辺が下にくるとは限りません

問題用紙をグルグルまわしてみると分かりやすい位置が見えてくるかも・・・