博士の愛した数式に出てくる自然対数の底ｅとは、複利計算から導かれるものである。
１万円を年利１００％で預けると１年後には１＋１＊１＝２万円になります。
これを半年複利で計算した場合は、半年ごとに５０％の利子がつくので、
半年後には、
１万円＋１万円＊０．５＝１．５万円
になり、
さらにその半年後には、
１．５万円＋１．５万＊０．５＝２．２５万円となります。
このように、１年後には、２．２５万円（２２,５００円）になります。半年毎に利子が元金に繰り込まれるので、先ほどより大きな金額になります。
数式で書くと、
はじめのＡ万円は、
Ａ＋Ａ＊０．５＝Ｂ
さらに、そのＢ万円は
Ｂ＋Ｂ＊０．５＝Ｃ
よって
Ｃ＝Ｂ（１＋０．５）＝Ａ（１＋０．５）＊（１＋０．５）＝Ａ（１＋１／２）＾2
Ａを１万円とすると、半年後には、
Ｃ＝（１＋１／２）＾2
となります。
以上は、半年ごとの複利計算でしたが、
１ヶ月ごとの複利計算だと１年後（１２ヶ月後）には、次のＣ万円になります。
Ｃ＝（１＋１／１２）＾12
この複利計算を無限に短い期間で計算した（上記の１２ヶ月を→無限大にした）
長短期間複利計算の答えがｅ万円となります。
自然対数の底ｅの定義は、
ｅ＝（１＋１／ｎ）＾n
上記式で、ｎ→∞
なお、エクセルでやってみると、
１秒ごとの超短期間複利計算（超短時間複利計算）で、元利合計金額が、大体ｅ万円（２．７１８２８１８・・万円、約２７１８２円）となります。
自然対数の底ｅは、ネピア数、ネイピア数とも言われます
１万円を年利１００％で預けると１年後には１＋１＊１＝２万円になります。
これを半年複利で計算した場合は、半年ごとに５０％の利子がつくので、
半年後には、
１万円＋１万円＊０．５＝１．５万円
になり、
さらにその半年後には、
１．５万円＋１．５万＊０．５＝２．２５万円となります。
このように、１年後には、２．２５万円（２２,５００円）になります。半年毎に利子が元金に繰り込まれるので、先ほどより大きな金額になります。
数式で書くと、
はじめのＡ万円は、
Ａ＋Ａ＊０．５＝Ｂ
さらに、そのＢ万円は
Ｂ＋Ｂ＊０．５＝Ｃ
よって
Ｃ＝Ｂ（１＋０．５）＝Ａ（１＋０．５）＊（１＋０．５）＝Ａ（１＋１／２）＾2
Ａを１万円とすると、半年後には、
Ｃ＝（１＋１／２）＾2
となります。
以上は、半年ごとの複利計算でしたが、
１ヶ月ごとの複利計算だと１年後（１２ヶ月後）には、次のＣ万円になります。
Ｃ＝（１＋１／１２）＾12
この複利計算を無限に短い期間で計算した（上記の１２ヶ月を→無限大にした）
長短期間複利計算の答えがｅ万円となります。
自然対数の底ｅの定義は、
ｅ＝（１＋１／ｎ）＾n
上記式で、ｎ→∞
なお、エクセルでやってみると、
１秒ごとの超短期間複利計算（超短時間複利計算）で、元利合計金額が、大体ｅ万円（２．７１８２８１８・・万円、約２７１８２円）となります。
自然対数の底ｅは、ネピア数、ネイピア数とも言われます
これからもよろしくお願いいたします。
自然対数の底ｅの解説ありがとうございます。工学の世界でもよく使いますが、その数学的意味、自然界を見た場合の自然界との繋がりなどさっぱりです。 興味深くよませていただきました。
使わないからな・・・
noriさんの話に、どれだけついて行けるんだろうか？
こちらこそ、よろしくお願いいたします。
仙台の人さん
私も、あんまり使わないのですが、ｅの定義はなんだっけ？ と、ふと思った次第です。
トラバありがとうございました、
こっそりと静かに書いておりましたつもりが
思いがけずトラバを頂戴し何とお礼を
今後ともよろしくお願いします。
自然対数のお話
ためになりました。
正直苦手な分野ですが、判り易いご説明で納得いたしました。
こちらこそ、よろしくお願い申し上げます。
それにしてもｅとは、超越数と言われ不思議な数です。
ルート２、なども、ずっ～と続く数字ですが、
こちらは、ｘ＾2－２＝０ の方程式の解になっており、代数的数字と言われます。
ｅは、このような方程式の解にはならず、超越している数のようです。