ねこ掛け算のブログ

そろばん暗算は出来ないな、という人たちのための掛け算暗算法
2桁・3桁同士から、そこまでやるかの4桁超までご紹介

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2桁の数の2乗 暗記法 その5 第2の計算法

2012-04-25 00:00:00 | 平方数 2乗の数
さて、この暗記法のその2において、2乗の掛け算の速算法をご紹介しました。

それは、25までの数の2乗 を使って下記の様に考えるものでした。

A. 26から50まで: 
 (元の数-25)×100 + (50-元の数)の2乗

  例: 37×37 = 1200 + 169 = 1369

B. 51から75まで: 
  (元の数-25)×100 + (元の数-50)の2乗

 例: 74×74 =  4900 + 576 = 5476

C. 76から99まで: 
 (元の数×2-100)×100 + (100-元の数)の2乗

 例: 77×77 =  5400 + 529 = 5929

これは、2乗の数では同じ下二桁の数が繰り返し出てくることを使ったものでしたが、
はたと気がつきました。

 下一桁だけで同じようなことが出来ないだろか?

例によって、数式を並べて考えてみました。そして、気がつきました。
まだ、計算方法があった。。。

 

今回は結論だけ申し上げます。詳しくは知りませんが、計算方法自体は
インド式として紹介されている中などにもあるものだと思います。
 
例えば、34×34 という計算があったとします。

 これを4つの4角形で考えます。



 そうすると、
 
 30×30 + 4×30 + 30×4 + 4×4
 
 と表現出来ます。
 この3つの項のうち、最初の3つを 30でくくってしまいます

  (30+4+4)×30 + 4×4
 = 38 × 30 + 4 × 4
 = 1146 + 16 
 = 1156  計算出来ました。

この 34×34 を 38×30+4×4 に書き換えた部分だけを見ると、

一方の 34 から 他方の34 へ 4 移動し、移動した分の2乗 を加えた
とも見えます。実際、その考え方で計算してOKです。

   34 × 34  ⇒  38 × 30 + 4×4
                 ←4←
                 移動!   移動した分の2乗!
 
だから、例えば 62×62 だったら、片方から片方へ 2 移動 して 64×60、
これに その 2乗 を加える

 つまり 62 × 62 = 64 × 60 + 2 × 2
             = 3840 + 4
             = 3844
となります。


 (これ、速い!)


ここで一点確認します。この数字が移動出来るという方法、
基本はあくまでも10の位の数が同じという前提なんですね。
10の位が同じだから、4つの四角形で考えた時に、
最初の三つの項をまとめることが出来る
のです。

    62 × 62 = 60 × 60 + 2 × 60 + 60 × 2 + 2×2
            = (60+2+2)×60 + 2 × 2
            = 64 × 60 + 2 × 2
            = 3840 + 4
            = 3844

では次に、68×68 で考えて見ましょう

右から左へ 8 移動しすると。。。

    68 × 68 = 76 × 60 + 8 × 8
            = 4520 + 64
            = 4624

  これも、結構速く計算できますね。

しかしここで、68 は (70から2 少ない数) と考えると。。。

   68 × 68 = (70-2) × (70-2)
           = 70×70 - 2×70 - 2 ×70 + (-2)×(-2)
           = (70-2-2)× 70 + 2 × 2
           = 66 × 70 + 4
           = 4620 + 4
           = 4624

  こういう風にも計算出来ます。

つまり、左から右へ 2 移動しました。
移動した数が小さい分、2乗の計算の部分も小さくなり、繰り上がりもないので楽ですね。
やや、こちらの方が 8 移動させる場合より速いでしょう

 ※本来は移動の量を -2 として表現すべきかもしれませんが、
  2乗されて結局同じにことなるのでここでは深く立ち入りません。
  但し、この計算方法を一般化する際には、考え方として正負を意識する必要があります。


例を続けます。

   79×79 = 80×78 + 1×1 
         =  6240 +  1 
         =  6241

これも速く計算出来ます。後から足す2乗の部分が1となり、
繰り上がりがないのが確実なので、安心して 80×78 の計算が出来ますよね。

お気づきの通り、79×79 を見た時に、

  9 移動させて 88×70+9×9 とするか、
  1 移動させて 80×78+1×1 とするか、という判断ですが、

もちろん、移動させる数の小さい方を選んで計算したほうが良いと考えます。
すなわち、70に合わせるか、80に合わせるか、については、どちらか近い方に合わせれば良いわけです。


 

まとめます。37 の 2乗 を例にとります。

  37×37 = 34×40 + 3×3 (左から右へ3移動)
        = 1360 + 9
        = 1369

  37×37 = 44×30 + 7×7 (右から左へ7移動)
        = 1320 + 49
        = 1369

  37×37 = (37-25)×100 + (50-37)^2
        = 1200 + 169 (37から25引き、13の2乗)
        = 1369

どれをとっても計算できますね。計算する数の範囲にによって、もっとも簡単な計算方法があるかと思いますで、
一度確認してみると良いと思います。
いずれにせよ、暗記してしまうまでの過程ですので色々やり方があって良いと考えます。

最終的には 

 37×37 = 1369 

と暗記してしまう、これは一番速いわけです。

 


ここで、一つ注意すべき点があります。今ご紹介申し上げた、
一方から一方へ数字を移動させて移動した数の2乗を足す方法ですが、
取りあえず、この2乗計算の場合のみに適用すると考えておいて下さい。

2乗でなくとも、10の位が同じ数同士の掛け算なら、考え方としては応用が効くのですが、
そのままやってしまうと変な計算になります。

例えば 78×75 という計算があったときに、

 右から左へ 2 移動で 78×75 = 80×73 + 2×2 
                   = 5840 + 2×2
                   = 5844 ???

正しくは 5850 となります。方法論に若干の調整が必要です。

この、10の倍数でくくる計算方法の一般展開については、別途ご案内したいと思います。

 

さて、次回に「暗算用リスト」というものをご案内いたします。

2乗の数の計算のリストで、順列のリスト、10飛びのリスト 2種類のものです。
それぞれ、計算法を変えて 2乗の数を 計算しています。

順列のリストは、25までの2乗の数を使う計算法、
10飛びのリストは 今回の第二の計算法(移動法?)をつかっています。

2種類のリストに対し、それぞれ異なる計算法でアプローチすることにより、
記憶もより進むのではないかと考えます。


 



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