cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ となる理由

0＜α-β＜π/2 のとき、
図形に着目すると、
AB^2
= HA^2 + HB^2
= HA^2 + (OB - OH)^2
= (sin(α-β))^2 + (1 - cos(α-β))^2
= (sin(α-β))^2 + (1 - 2 cos(α-β) + (cos(α-β))^2)
= ((sin(α-β))^2 + (cos(α-β))^2) + 1 - 2 cos(α-β)
=  1                                + 1 - 2 cos(α-β)
=  2 - 2 cos(α-β) ‥‥‥ (1)
座標に着目すると、
AB^2
= (cosα - cosβ)^2 + (sinα - sinβ)^2
= ((cosα)^2 - 2 cosαcosβ + (cosβ)^2) + ((sinα)^2 - 2 sinαsinβ + (sinβ)^2)
= ((cosα)^2 + (sinα)^2) + ((cosβ)^2 + (sinβ)^2) - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ)
=  1                      +  1                      - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ)
=  2 - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ) ‥‥‥ (2)
(1)(2)より、
2 - 2 cos(α-β) = 2 - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ)
よって、
0＜α-β＜π/2 のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (3)

α-β = 0 のとき、
cos(α-β)
= cos(0)
= 1
= (cosα)^2 + (sinα)^2
= cosαcosα + sinαsinα
= cosαcos(β+(α-β)) + sinαsin(β+(α-β))
= cosαcos(β+ 0     ) + sinαsin(β+ 0     )  (∵ α-β = 0 )
= cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (4)

α-β = π/2 のとき、
cos(α-β)
= cos(π/2)
= 0
= cosαsin α          - cosα   sin α
= cosαsin α          - sinα   cos α
= cosαsin(β+(α-β)) - sinα   cos(β+(α-β))
= cosαsin(β+ π/2  ) - sinα   cos(β+ π/2  )  (∵ α-β = π/2 )
= cosαcosβ           - sinα(- sin β         )
= cosαcosβ           + sinα   sin β ‥‥‥ (5)

(3)(4)(5)を統合すると、
0≦α-β≦π/2 のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (6)

π/2≦α-β≦π のとき、
cos(α-β)
=   cos( β-α    )
= - cos((β-α)+π)
= - cos((β+π)-α)
= - (cos(β+π)cosα + sin(β+π)sinα)  (∵ 0≦(β+π)-α≦π/2 )
= - ((- cosβ )cosα + (- sinβ )sinα)
= - (-  cosβ  cosα -    sinβ  sinα)
=       cosβ  cosα +    sinβ  sinα
=       cosαcosβ   +    sinαsinβ ‥‥‥ (7)

(6)(7)を統合すると、
0≦α-β≦π のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (8)

π≦α-β≦2π のとき、
cos(α-β)
= cos( β-α     )
= cos((β-α)+2π)
= cos((β+2π)-α)
= cos(β+2π)cosα + sin(β+2π)sinα  (∵ 0≦(β+2π)-α≦π )
= cos β     cosα + sin β     sinα
= cosαcosβ       + sinαsinβ ‥‥‥ (9)

(8)(9)を統合すると、
0≦α-β≦2π のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (8)

nを整数とすると、
2πn≦α-β≦2π(n+1) のとき、
cos(α-β)
= cos((α-β)-2πn)
= cos((α-2πn)-β)
= cos(α-2πn)cosβ + sin(α-2πn)sinβ  (∵ 0≦(α-2πn)-β≦2π )
= cos α      cosβ + sin α      sinβ

すべての n について統合すると、
α-βがどんな値のときも、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ

cos(α+β)
= cos(α-(-β))
= cosαcos(-β) + sinαsin(-β)
= cosαcos  β  - sinαsin  β

三平方の定理(ピタゴラスの定理)が成り立つ理由

PB = QC = RD = SA = a ,
BQ = CR = DS = AP = b ,
PQ = QR = RS = SP = c
とすると、
正方形ABCDの面積 = 正方形PQRSの面積 + 直角三角形の面積×4 だから、
(a + b)^2        = c^2              + (ab/2)          ×4
よって、
a^2 + b^2 = c^2

∫[g(a)→g(b)] f(t) dt = ∫[a→b] f(g(u)) g'(u) du となる理由

f(t) = F'(t) とすると、
  ∫[g(a)→g(b)] f (t) dt
= ∫[g(a)→g(b)] F'(t) dt
= F(g(b)) - F(g(a))
= ∫[a→b] (d/du F(g(u))) du
= ∫[a→b] F'(g(u)) g'(u) du
= ∫[a→b] f (g(u)) g'(u) du

d/dx (f(x)/g(x)) = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x))/(g(x)^2) となる理由

d/dx (f(x)/g(x))
= lim[h→0]((f(x+h)/g(x+h)            - f(x)/g(x)               )/ h             )
= lim[h→0]((f(x+h) g(x)              - f(x) g(x+h)             )/(h g(x+h) g(x)))
= lim[h→0]((f(x+h) g(x) - f(x) g(x)  - f(x) g(x+h) + f(x) g(x) )/(h g(x+h) g(x)))
= lim[h→0]((( f(x+h) - f(x))    g(x) - f(x) ( g(x+h) - g(x))   )/(h g(x+h) g(x)))
= lim[h→0]((((f(x+h) - f(x))/h) g(x) - f(x) ((g(x+h) - g(x))/h))/(g(x+h) g(x)))
=          (   f'(x)             g(x) - f(x)   g'(x)            )/(g(x+0) g(x))
=          (   f'(x)             g(x) - f(x)   g'(x)            )/(g(x))^2

d/dx (f(x) g(x)) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) となる理由

d/dx (f(x) g(x))
= lim[h→0]((f(x+h) g(x+h)                             - f(x) g(x))/h)
= lim[h→0]((f(x+h) g(x+h) - f(x) g(x+h) + f(x) g(x+h) - f(x) g(x))/h)
= lim[h→0](((f(x+h) - f(x))    g(x+h)   + f(x)  (g(x+h) - g(x))  )/h)
= lim[h→0](((f(x+h) - f(x))/h) g(x+h)   + f(x) ((g(x+h) - g(x))/h)  )
=             f'(x)             g(x+0)   + f(x)   g'(x)
=             f'(x)             g(x  )   + f(x)   g'(x)

p が実数のとき、d/dx (x^p) = p x^(p-1) となる理由

p≠0 のとき、
d/dx (x^p)
= x^p (1/x^p) (d/dx (x^p))
= x^p (d/dx ln(x^p))  (∵ f'(g(x)) g'(x) = d/dx f(g(x)) )
= x^p (d/dx (p ln(x)))  (∵ log[a](b^c) = c log[a](b) )
= x^p p (d/dx ln(x))
= x^p p (1/x)
= p x^(p-1)

p＝0 のとき、
d/dx (x^p)
= d/dx (x^0)
= d/dx 1
= 0
= 0 x^(0-1)
= p x^(p-1)

d/dx log[a](x) = (1/ln(a)) (1/x) となる理由

f(x) = log[a](x), g(y) = a^y とすると、
d/dx log[a](x)
= f'(x)
= 1/g'(f(x))  (∵ g(f(x)) = x のとき、f'(x) = 1/g'(f(x)) )
= 1/(ln(a) a^f(x))
= 1/(ln(a) a^log[a](x))
= 1/(ln(a) x)
= (1/ln(a)) (1/x)

d/dx (a^x) = ln(a) a^x となる理由

d/dx (a^x)
= lim[h→0]((a^(x+h) - a^x)/h)
= lim[h→0]((a^x a^h - a^x)/h)
= lim[h→0](a^x ((a^h - 1)/h))
= a^x lim[h→0]((a^h - 1)/h)
= a^x lim[h→0]((a^h - 1)/log[a](a^h))
= a^x lim[h→0]((a^h - 1)/log[a](1 + (a^h - 1)))
= a^x lim[t→0]( t       /log[a](1 +  t       ))
= a^x lim[t→0]( 1       /((1/t) log[a](1 + t)))
= a^x lim[t→0]( 1       /log[a]((1 + t)^(1/t)))
= a^x lim[t→0](log[a](a)/log[a]((1 + t)^(1/t)))
= a^x lim[t→0] log[(1 + t)^(1/t)](a)  (∵ log[p](q)/log[p](r) = log[r](q) )
= a^x log[lim[t→0]((1 + t)^(1/t))](a)
= a^x log[e](a)  (∵ lim[t→0]((1 + t)^(1/t)) という値の定数を e と書く決まり)
= a^x ln(a)
= ln(a) a^x

log[a](b) = log[c](b)/log[c](a) が成り立つ理由

log[a](b)
= (log[a](b) log[c](a))/log[c](a)
= log[c](a^log[a](b))/log[c](a)
= log[c](b)/log[c](a)

c log[a](b) = log[a](b^c) が成り立つ理由

a^(c log[a](b))
= a^((log[a](b)) c)
= (a^(log[a](b)))^c
=           b^c
= a^(log[a](b^c))
 (∵ a^x = y となる x を log[a](y) と書くのが log の定義だから、a^log[a](y) = y )

整理すると、
a^(c log[a](b)) = a^(log[a](b^c))

これが、
   c log[a](b)  =    log[a](b^c)  が成り立つ理由。

積分が微分と逆の操作だと言える理由

d/dx ∫[a→x] f(t) dt
＝ lim[h→0]((∫[a→x+h] f(t) dt - ∫[a→x] f(t) dt)/h)
＝ lim[h→0]((∫[x→x+h] f(t) dt)/h)
≧ lim[h→0]((∫[x→x+h] min[x≦t≦x+h](f(t)) dt)/h)
＝ lim[h→0]((           min[x≦t≦x+h](f(t)) h )/h)
＝ lim[h→0]             min[x≦t≦x+h](f(t))
＝                       min[x≦t≦x+0](f(t))
＝                       min[   t＝x  ](f(t))
＝                                      f(x)

d/dx ∫[a→x] f(t) dt
＝ lim[h→0]((∫[a→x+h] f(t) dt - ∫[a→x] f(t) dt)/h)
＝ lim[h→0]((∫[x→x+h] f(t) dt)/h)
≦ lim[h→0]((∫[x→x+h] max[x≦t≦x+h](f(t)) dt)/h)
＝ lim[h→0]((           max[x≦t≦x+h](f(t)) h )/h)
＝ lim[h→0]             max[x≦t≦x+h](f(t))
＝                       max[x≦t≦x+0](f(t))
＝                       max[   t＝x  ](f(t))
＝                                      f(x)

整理すると、
f(x) ≦ d/dx ∫[a→x] f(t) dt ≦ f(x)

よって、
d/dx ∫[a→x] f(t) dt = f(x)

d/dx F(x) = f(x) を満たす F(x) が丁度、∫[a→x] f(t) dt になっている。

m が整数、n が正の整数のとき、d/dx (x^(m/n)) = (m/n) x^(m/n - 1) となる理由

f(y) = y^(1/n), g(x) = x^m とすると、
d/dx (x^(m/n))
= d/dx ((x^m)^(1/n))
= d/dx f(x^m)
= d/dx f(g(x))
= f'(g(x)) g'(x)  (∵ d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) )
= ((1/n) (g(x))^(1/n - 1)) (m x^(m-1))
= ((1/n) (x^m)^(1/n - 1)) (m x^(m-1))
= ((1/n) x^(m (1/n - 1))) (m x^(m-1))
= (m/n) x^(m (1/n - 1) + (m-1))
= (m/n) x^(m/n - 1)

n が正の整数のとき、d/dx (x^(1/n)) = (1/n) x^(1/n - 1) となる理由

f(x) = x^(1/n), g(y) = y^n とすると、
d/dx (x^(1/n))
= f'(x)
= 1/g'(f(x))  (∵ g(f(x)) = x のとき、f'(x) = 1/g'(f(x)) )
= 1/(n (f(x))^(n-1)
= 1/(n (x^(1/n))^(n-1))  (∵ g'(y) = n y^(n-1) )
= (1/n) (x^(1/n))^(1-n)
= (1/n) x^((1-n)/n)
= (1/n) x^(1/n - 1)

n が整数のとき、d/dx x^n = n x^(n - 1) となる理由

m が正の整数のとき、

lim[h→0](((x+h)^m - x^m)/h)
= lim[h→0]((((x+h) - x)
                  ((x+h)^(m-1) x^0 + (x+h)^(m-2) x^1 + ‥‥
                        + (x+h)^1 x^(m-2) + (x+h)^0 x^(m-1)))/h)
= lim[h→0]((x+h)^(m-1) x^0 + (x+h)^(m-2) x^1 + ‥‥
                 + (x+h)^1 x^(m-2) + (x+h)^0 x^(m-1))
=           (x+0)^(m-1) x^0 + (x+0)^(m-2) x^1 + ‥‥
                 + (x+0)^1 x^(m-2) + (x+0)^0 x^(m-1)
= x^(m-1) x^0 + x^(m-2) x^1 + ‥‥ + x^1 x^(m-2) + x^0 x^(m-1)
= m x^(m - 1)

d/dx x^m
= lim[h→0](((x+h)^m - x^m)/h)
= m x^(m - 1)

d/dx x^(-m)
= d/dx (1/x^m)
= lim[h→0](((1/(x+h)^m) - (1/x^m))/h)
= lim[h→0]((x^m - (x+h)^m)/((x+h)^m x^m h))
= lim[h→0](- ((x+h)^m - x^m)/((x+h)^m x^m h))
= - lim[h→0](((x+h)^m - x^m)/h)/lim[h→0]((x+h)^m x^m)
= - m x^(m-1)/(x^m x^m)
= (-m) x^((-m) - 1)

d/dx x^0
= d/dx 1
= lim[h→0]((1 - 1)/h)
= lim[h→0](0/h)
= lim[h→0] 0
= 0
= 0 x^(0 - 1)

整理すると、
m が正の整数のとき、
d/dx x^  m  =   m  x^(  m  - 1)
d/dx x^(-m) = (-m) x^((-m) - 1)
d/dx x^  0  =   0  x^(  0  - 1)

これが、
n が整数のとき、
d/dx x^  n  =   n  x^(  n  - 1)
となる理由。

g(f(x)) = x のとき、f'(x) = 1/g'(f(x)) となる理由

f'(x)
= lim[h→0]((f(x+h) - f(x))/h)
= lim[h→0]((f(x+h) - f(x))/((x+h) - x))
= lim[h→0]((f(x+h) - f(x))/(g(f(x+h)) - g(f(x))))
= lim[h→0]((f(x+h) - f(x))/(g(f(x) + (f(x+h) - f(x))) - g(f(x))))
= lim[t→0]( t             /(g(f(x) +  t             ) - g(f(x))))
= lim[t→0](1/((g(f(x) + t) - g(f(x)))/t))
= 1/lim[t→0]((g(f(x) + t) - g(f(x)))/t)
= 1/g'(f(x))