円周に内接する正n角形の外周の長さを f(n) とすると、
内接正n角形の面積
= 二等辺三角形の面積×n
= ({(f(n)/n) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}/2)×n
= { f(n) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}/2
= (f(n)/2) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)
外接正n角形は、
内接正n角形を r/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2) 倍に拡大したものだから、
外接正n角形の面積
= 内接正n角形の面積×{r/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}^2
= {(f(n)/2) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}×{r/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}^2
= (f(n)/2) (r^2/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2))
曲線を折れ線で近似したときの折れ線の長さの、
折る箇所を無限に増やしたときの極限値が、曲線の長さだから、
lim[n→∞]f(n) = 2πr
lim[n→∞]内接正n角形の面積
= lim[n→∞]{( f(n) /2) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}
= ((2πr)/2) √(r^2 - 0 ^2)
= πr √(r^2)
= πr ・ r
= πr^2
lim[n→∞]外接正n角形の面積
= lim[n→∞]{( f(n) /2) (r^2/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2))}
= ((2πr)/2) (r^2/√(r^2 - 0 ^2))
= πr (r^2/√(r^2))
= πr (r^2/ r )
= πr ・ r
= πr^2
内接正n角形の面積＜円の面積＜ 外接正n角形の面積
lim[n→∞]内接正n角形の面積≦円の面積≦lim[n→∞]外接正n角形の面積
πr^2≦円の面積≦πr^2
円の面積 = πr^2
