積分が微分と逆の操作だと言える理由

d/dx ∫[a→x] f(t) dt
＝ lim[h→0]((∫[a→x+h] f(t) dt - ∫[a→x] f(t) dt)/h)
＝ lim[h→0]((∫[x→x+h] f(t) dt)/h)
≧ lim[h→0]((∫[x→x+h] min[x≦t≦x+h](f(t)) dt)/h)
＝ lim[h→0]((           min[x≦t≦x+h](f(t)) h )/h)
＝ lim[h→0]             min[x≦t≦x+h](f(t))
＝                       min[x≦t≦x+0](f(t))
＝                       min[   t＝x  ](f(t))
＝                                      f(x)

d/dx ∫[a→x] f(t) dt
＝ lim[h→0]((∫[a→x+h] f(t) dt - ∫[a→x] f(t) dt)/h)
＝ lim[h→0]((∫[x→x+h] f(t) dt)/h)
≦ lim[h→0]((∫[x→x+h] max[x≦t≦x+h](f(t)) dt)/h)
＝ lim[h→0]((           max[x≦t≦x+h](f(t)) h )/h)
＝ lim[h→0]             max[x≦t≦x+h](f(t))
＝                       max[x≦t≦x+0](f(t))
＝                       max[   t＝x  ](f(t))
＝                                      f(x)

整理すると、
f(x) ≦ d/dx ∫[a→x] f(t) dt ≦ f(x)

よって、
d/dx ∫[a→x] f(t) dt = f(x)

d/dx F(x) = f(x) を満たす F(x) が丁度、∫[a→x] f(t) dt になっている。