f(p, q) = 2 p^2 - q^2 とすると、
あらゆる正の整数 p, q について、
q が奇数のとき、
q = 2k+1 (k は 0 以上の整数) とおくと、
f(p, q)
= 2 p^2 - (2k+1)^2
= 2 p^2 - 4 k^2 - 4k - 1
= 2 (p^2 - 2 k^2 - 2k - 1) + 1
≠0
q が偶数 かつ p が奇数のとき、
q = 2k, p = 2h+1 (k, h は 0 以上の整数) とおくと、
f(p, q)
= 2 (2h+1)^2 - (2k)^2
= 2 ((2h+1)^2 - 2 k^2)
= 2 (4 h^2 + 4h - 2 k^2 + 1)
= 2 (2 (2 h^2 + 2h - k^2) + 1)
≠0
q が偶数 かつ p が偶数のとき、
f(p, q)
= 2 p^2 - q^2
= 4 (2 (p/2)^2 - (q/2)^2)
= 4 f(p/2, q/2)
整理すると、
p, q の両方ともが偶数のとき f(p, q) = 4 f(p/2, q/2)
p, q のいずれかが奇数のとき f(p, q) ≠0
ゆえに、あらゆる正の整数 a, b について、
f(a,b)=4 f(a/2,b/2)=‥=4^(n-1) f(a/2^(n-1),b/2^(n-1))=4^n f(a/2^n,b/2^n)
( n≧0。a,b,‥,a/2^(n-1),b/2^(n-1) は偶数。a/2^n, b/2^n のいずれかが奇数 )
4^n f(a/2^n, b/2^n)≠0 (∵ a/2^n, b/2^n のいずれかが奇数 )
よって、あらゆる正の整数 a, b について、
f(a, b) ≠ 0
2 a^2 - b^2 ≠ 0
2 a^2 ≠ b ^2
2 ≠(b/a)^2
√2 ≠ b/a
半径 r の球の上半分の半球の体積を求める。
半球を、高さ h/n の薄い円柱(円盤状の円柱) n 個で近似する。
内接する(円柱の上面が半球に接する)ように近似すると、
内接する円柱n個の体積の合計
= π(r^2-(1r/n)^2)(r/n)+π(r^2-(2r/n)^2)(r/n)+‥‥+π(r^2-(nr/n)^2)(r/n)
= π(r/n)^3 ((n^2 - 1^2) + (n^2 - 2^2) + ‥‥ + (n^2 - n^2))
= π(r/n)^3 (n・n^2 - (1^2 + 2^2 + ‥‥ + n^2))
= π(r/n)^3 (n^3 - (1/6) n (n + 1) (2n + 1))
= πr^3 (1 - (1/6) (1 + 1/n) (2 + 1/n))
外接する(円柱の下面が半球に接する)ように近似すると、
外接する円柱n個の体積の合計
= π(r^2-(0r/n)^2)(r/n)+π(r^2-(1r/n)^2)(r/n)+‥‥+π(r^2-((n-1)r/n)^2)(r/n)
= π(r/n)^3 ((n^2 - 0^2) + (n^2 - 1^2) + ‥‥ + (n^2 - (n-1)^2))
= π(r/n)^3 (n・n^2 - (0^2 + 1^2 + ‥‥ + (n-1)^2))
= π(r/n)^3 (n・n^2 - ( 1^2 + ‥‥ + (n-1)^2))
= π(r/n)^3 (n^3 - (1/6) (n-1) ((n-1) + 1) (2(n-1) + 1))
= π(r/n)^3 (n^3 - (1/6) (n - 1) n (2n - 1))
= πr^3 (1 - (1/6) (1 - 1/n) (2 - 1/n))
内接する円柱n個の体積の合計 < 半球の体積 < 外接する円柱n個の体積の合計
lim[n→∞]内接する円柱n個の体積の合計≦半球の体積
≦lim[n→∞]外接する円柱n個の体積の合計
lim[n→∞](πr^3 (1 - (1/6) (1 + 1/n) (2 + 1/n)))≦半球の体積
≦lim[n→∞](πr^3 (1 - (1/6) (1 - 1/n) (2 - 1/n)))
πr^3 (1 - (1/6) (1 + 0 ) (2 + 0 )) ≦半球の体積
≦ πr^3 (1 - (1/6) (1 - 0 ) (2 - 0 ))
πr^3 (1 - 1/3 ) ≦半球の体積
≦ πr^3 (1 - 1/3 )
(2/3)πr^3 ≦半球の体積
≦ (2/3)πr^3
半球の体積 = (2/3)πr^3
球の体積 = 半球の体積×2 = (2/3)πr^3×2 = (4/3)πr^3
半径 r , 高さ h の円錐を、高さ h/n の薄い円柱(円盤状の円柱) n 個で近似する。
内接する(円柱の上面が円錐に接する)ように近似すると、
内接する円柱n個の体積の合計
= π(r(0/n))^2 (h/n) + π(r(1/n))^2 (h/n) + ‥‥ + π(r((n-1)/n))^2 (h/n)
= πr^2 h (1/n^3) (0^2 + 1^2 + ‥‥ + (n-1)^2)
= πr^2 h (1/n^3) ( 1^2 + ‥‥ + (n-1)^2)
= πr^2 h (1/n^3) (1/6) (n-1) ((n-1) + 1) (2(n-1) + 1)
= πr^2 h (1/n^3) (1/6) (n - 1) n (2n - 1)
= (1/6)πr^2 h (1 - 1/n) (2 - 1/n)
外接する(円柱の下面が円錐に接する)ように近似すると、
外接する円柱n個の体積の合計
= π(r(1/n))^2 (h/n) + π(r(2/n))^2 (h/n) + ‥‥ + π(r(n/n))^2 (h/n)
= πr^2 h (1/n^3) (1^2 + 2^2 + ‥‥ + n^2)
= πr^2 h (1/n^3) (1/6) n (n + 1) (2n + 1)
= (1/6)πr^2 h (1 + 1/n) (2 + 1/n)
内接する円柱n個の体積の合計 < 円錐の体積 < 外接する円柱n個の体積の合計
lim[n→∞]内接する円柱n個の体積の合計≦円錐の体積
≦lim[n→∞]外接する円柱n個の体積の合計
lim[n→∞]((1/6)πr^2 h (1 - 1/n) (2 - 1/n))≦円錐の体積
≦lim[n→∞]((1/6)πr^2 h (1 + 1/n) (2 + 1/n))
(1/6)πr^2 h (1 - 0 ) (2 - 0 ) ≦円錐の体積
≦ (1/6)πr^2 h (1 + 0 ) (2 + 0 )
(1/3)πr^2 h ≦円錐の体積
≦ (1/3)πr^2 h
円錐の体積 = (1/3)πr^2 h
k^2 - (1/6) k (k + 1) (2k + 1)
= - (1/6) k (- 6k + (k + 1) (2k + 1))
= - (1/6) k (2 k^2 - 3k + 1)
= - (1/6) k (k - 1) (2k - 1)
= - (1/6) (k-1) k (2k - 1)
= - (1/6) (k-1) ((k-1) + 1) (2(k-1) + 1)
1^2 + 2^2 + ‥‥ + (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 - (1/6) n (n + 1) (2n + 1)
= 1^2 + 2^2 + ‥‥ + (n-2)^2 + (n-1)^2 - (1/6)(n-1)((n-1) + 1)(2(n-1) + 1)
= 1^2 + 2^2 + ‥‥ + (n-2)^2 - (1/6)(n-2)((n-2) + 1)(2(n-2) + 1)
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
= 1^2 + 2^2 - (1/6)2(2 + 1)(2・2 + 1)
= 1^2 - (1/6)1(1 + 1)(2・1 + 1) = 1 - 1 = 0
よって、
1^2 + 2^2 + ‥‥ + (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 = (1/6) n (n + 1) (2n + 1)
k - (1/2) k (k + 1)
= - (1/2) k (- 2 + (k + 1))
= - (1/2) k (k - 1)
= - (1/2) (k-1) k
= - (1/2) (k-1) ((k-1) + 1)
1 + 2 + ‥‥ + (n-2) + (n-1) + n - (1/2) n (n + 1)
= 1 + 2 + ‥‥ + (n-2) + (n-1) - (1/2) (n-1) ((n-1) + 1)
= 1 + 2 + ‥‥ + (n-2) - (1/2) (n-2) ((n-2) + 1)
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
= 1 + 2 - (1/2) 2 (2 + 1)
= 1 - (1/2) 1 (1 + 1) = 1 - 1 = 0
よって、
1 + 2 + ‥‥ + (n-2) + (n-1) + n = (1/2) n (n + 1)
円周に内接する正n角形の外周の長さを f(n) とすると、
内接正n角形の面積
= 二等辺三角形の面積×n
= ({(f(n)/n) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}/2)×n
= { f(n) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}/2
= (f(n)/2) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)
外接正n角形は、
内接正n角形を r/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2) 倍に拡大したものだから、
外接正n角形の面積
= 内接正n角形の面積×{r/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}^2
= {(f(n)/2) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}×{r/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}^2
= (f(n)/2) (r^2/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2))
曲線を折れ線で近似したときの折れ線の長さの、
折る箇所を無限に増やしたときの極限値が、曲線の長さだから、
lim[n→∞]f(n) = 2πr
lim[n→∞]内接正n角形の面積
= lim[n→∞]{( f(n) /2) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}
= ((2πr)/2) √(r^2 - 0 ^2)
= πr √(r^2)
= πr ・ r
= πr^2
lim[n→∞]外接正n角形の面積
= lim[n→∞]{( f(n) /2) (r^2/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2))}
= ((2πr)/2) (r^2/√(r^2 - 0 ^2))
= πr (r^2/√(r^2))
= πr (r^2/ r )
= πr ・ r
= πr^2
内接正n角形の面積<円の面積< 外接正n角形の面積
lim[n→∞]内接正n角形の面積≦円の面積≦lim[n→∞]外接正n角形の面積
πr^2≦円の面積≦πr^2
円の面積 = πr^2
tan(2θ)
= tan(θ+θ)
= (tanθ + tanθ)/(1 - tanθtanθ)
= (2 tanθ)/(1 - (tanθ)^2)
tan(2 arctan(1/5))
= (2 tan(arctan(1/5)))/(1 - (tan(arctan(1/5)))^2)
= (2 (1/5)))/(1 - (1/5)^2)
= (2・5)/(5^2 - 1)
= 10/(25 - 1)
= 10/24
= 5/12
tan(4 arctan(1/5))
= tan(2 (2 arctan(1/5)))
= (2 tan(2 arctan(1/5)))/(1 - (tan(2 arctan(1/5)))^2)
= (2 (5/12))/(1 - (5/12)^2)
= (2・5・12)/(12^2 - 5^2)
= 120/(144 - 25)
= 120/119
tan(4 arctan(1/5) - arctan(1/239))
= tan(4 arctan(1/5) + (- arctan(1/239)))
= (tan(4 arctan(1/5)) + tan(- arctan(1/239)))
/(1 - tan(4 arctan(1/5)) tan(- arctan(1/239)))
= (tan(4 arctan(1/5)) - tan(arctan(1/239)))
/(1 + tan(4 arctan(1/5)) tan(arctan(1/239)))
= (120/119 - 1/239)/(1 + (120/119) (1/239))
= (120・239 - 1・119)/(1・119・239 + 120・1)
= (28680 - 119)/(28441 + 120)
= 28561/28561
= 1
よって、
4 arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4 + πn (n は整数)
arctan(1) = π/4 より、
0 < arctan(1/5) < π/4 , - π/4 < - arctan(1/239) < 0 だから
- π/4 < 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) < π なので、
4 arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4
16 arctan(1/5) - 4 arctan(1/239)
= 4 (4 arctan(1/5) - arctan(1/239))
= 4 (π/4)
= π
f(x) = arctan(x) - (x - x^3/3 + x^5/5 - ‥‥ - (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1)))
とすると、
f'(x)
= d/dx (arctan(x) - x + x^3/3 - x^5/5 + ‥‥ + (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1)))
= 1/(1 + x^2) - 1 + x^2 - x^4 + ‥‥ + (-1)^n x^(2n-2)
= (1/(1 + x^2)){1 + (1 + x^2)(- 1 + x^2 - x^4 + ‥‥ + (-1)^n x^(2n-2)}
= (1/(1 + x^2)){1 - 1 - x^2 + x^2 + x^4 - x^4 - x^6 + ‥‥
+ (-1)^n x^(2n-2) + (-1)^n x^(2n)}
= (1/(1 + x^2)) (-1)^n x^(2n)
= (-1)^n (x^(2n)/(1 + x^2))
nが偶数の場合、
f'(x) = x^(2n)/(1 + x^2)
x≧0 のとき f'(x)≧0 より f(x) は横這いか増加だから、
x≧0 のとき f(x)≧f(0) = arctan(0) - 0 = 0 ‥‥‥ (1)
g(x) = x^(2n+1)/(2n+1) - f(x) とすると、
g'(x) = x^(2n) - f'(x) = x^(2n) - x^(2n)/(1 + x^2) = x^(2n+2)/(1 + x^2)
x≧0 のとき g'(x)≧0 より g(x) は横這いか増加だから、
x≧0 のとき g(x)≧g(0) = 0 - f(0) = 0 - (arctan(0) - 0) = 0
すなわち、x^(2n+1)/(2n+1)≧f(x) ‥‥‥‥‥‥‥‥ (2)
(1)(2)より、x≧0 のとき 0≦f(x)≦x^(2n+1)/(2n+1)
nが奇数の場合、
f'(x) = - x^(2n)/(1 + x^2)
x≧0 のとき f'(x)≦0 より f(x) は横這いか減少だから、
x≧0 のとき f(x)≦f(0) = arctan(0) - 0 = 0 ‥‥‥ (3)
h(x) = - x^(2n+1)/(2n+1) - f(x) とすると、
h'(x) = - x^(2n) - f'(x) = - x^(2n) + x^(2n)/(1 + x^2) = - x^(2n+2)/(1 + x^2)
x≧0 のとき h'(x)≦0 より h(x) は横這いか減少だから、
x≧0 のとき h(x)≦h(0) = - 0 - f(0) = - 0 - (arctan(0) - 0) = 0
すなわち、- x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x) ‥‥‥‥‥‥‥ (4)
(3)(4)より、x≧0 のとき - x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)≦0
整理すると、x≧0 のとき、
nが偶数の場合、0≦f(x)≦x^(2n+1)/(2n+1)
nが奇数の場合、- x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)≦0
統合すると、x≧0 のとき、
- x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)≦x^(2n+1)/(2n+1)
すわなち、|f(x)|≦x^(2n+1)/(2n+1)
0≦x<1 のとき、
lim[n→∞]|f(x)|≦lim[n→∞](x^(2n+1)/(2n+1)) = 0 より、
lim[n→∞]|f(x)| = 0 となり、誤差は 0 に収束する。
これが、
arctan(x) が x - x^3/3 + x^5/5 - ‥‥ - (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1))
で近似できる理由。
そのとき誤差は x^(2n+1)/(2n+1) 以下。
f(x) = arctan(x), g(x) = tan(x) とすると、
d/dx arctan(x)
= f'(x)
= 1/g'(f(x)) (∵ g(f(x)) = x のとき、f'(x) = 1/g'(f(x)) )
= 1/( 1 /(cos(f(x)))^2)
= 1/(((cos(f(x)))^2 + (sin(f(x)))^2)/(cos(f(x)))^2)
= 1/( 1 + (sin(f(x))/cos(f(x)))^2)
= 1/( 1 + (tan(f(x)) )^2)
= 1/( 1 + (tan(arctan(x)))^2)
= 1/( 1 + x ^2)
f(x) = sin(x), g(x) = cos(x) とすると、
d/dx tan(x)
= d/dx (sin(x)/cos(x))
= d/dx (f(x)/g(x))
= ( f'(x) g(x) - f(x) g'(x) )/( g(x))^2
= (cos(x) cos(x) - sin(x) (- sin(x)))/(cos(x))^2
= ((cos(x))^2 + (sin(x))^2 )/(cos(x))^2
= 1 /(cos(x))^2
f(y) = sin(y), g(x) = x + π/2 とすると、
d/dx cos(x)
= d/dx sin(x + π/2)
= d/dx sin(g(x))
= d/dx f(g(x))
= f’(g(x)) g'(x) (∵ d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) )
= cos(g(x)) g'(x)
= cos(x + π/2)・1
= - sin(x)
sin(α+β) - sin(α-β)
= sin(α+β) - sin(α+(-β))
= (sinα cosβ + cosα sinβ) - (sinα cos(-β) + cosα sin(-β))
= (sinα cosβ + cosα sinβ) - (sinα cosβ - cosα sinβ )
= 2 cosα sinβ
0<θ<π/2 のとき、
θ≦tanθ
θ≦sinθ/cosθ
cosθ≦sinθ/θ
sinθ≦θより、sinθ/θ≦1 だから、
cosθ≦sinθ/θ≦1
lim[θ→0]cosθ ≦lim[θ→0](sinθ/θ)≦lim[θ→0] 1
cos(0)≦lim[θ→0](sinθ/θ)≦ 1
1 ≦lim[θ→0](sinθ/θ)≦ 1
lim[θ→0](sinθ/θ)=1
d/dx sin(x)
= lim[ h→0]((sin(x + h) - sin(x))/h)
= lim[ h→0]((sin((x + h/2) + h/2) - sin((x + h/2) - h/2))/h)
= lim[ h→0]((2 cos(x + h/2) sin(h/2))/h)
(∵ sin(α+β) - sin(α-β) = 2 cosα sinβ )
= lim[ h→0]((cos(x + h/2) sin(h/2))/(h/2))
= lim[θ→0]((cos(x + θ) sinθ)/θ )
= lim[θ→0]( cos(x + θ) (sinθ/θ))
= cos(x + 0)・1 (∵ lim[θ→0](sinθ/θ)=1 )
= cos(x)
h =sinθ/n とすると、
中心が (0,0) の円弧 (1,0)-(cosθ,sinθ) の長さは、
折れ線で近似したときの折れ線の長さの、折る箇所を無限に増やしたときの
極限値だから、
θ
=lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + {√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)}^2)
k≧1 のとき、
√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)
={(1-((k-1)h)^2) - (1-(kh)^2)}/{√(1-((k-1)h)^2) + √(1-(kh)^2)}
={ - ((k-1)h)^2 + (kh)^2 }/{√(1-((k-1)h)^2) + √(1-(kh)^2)}
=(2k-1) h^2/{√(1-((k-1)h)^2) + √(1-(kh)^2)}
≦ 2k h^2/{√(1-( k h)^2) + √(1-(kh)^2)} (∵ k≧1 )
= 2k h^2/{2 √(1-(kh)^2)}
= k h^2/ √(1-(kh)^2)
√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2) ≧ 0 より、
{√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)}^2 ≦ {k h^2/√(1-(kh)^2)}^2
よって、
θ
=lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + {√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)}^2)
≦lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + {k h^2/√(1-(kh)^2)}^2)
=lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + k^2 h^4/(1-(kh)^2))
=lim[n→∞]∑[k=1,n]{h √(1 + k^2 h^2/(1-(kh)^2))}
=lim[n→∞]∑[k=1,n]{h √({(1-(kh)^2) + k^2 h^2}/(1-(kh)^2))}
=lim[n→∞]∑[k=1,n]{h √( 1 /(1-(kh)^2))}
=lim[n→∞]∑[k=1,n]{h /√(1 - (k h )^2)}
≦lim[n→∞]∑[k=1,n]{h /√(1 - (n h )^2)}
=lim[n→∞]{n h /√(1 - (n h )^2)}
=lim[n→∞]{n(sinθ/n)/√(1 - (n(sinθ/n))^2)}
=lim[n→∞]{ sinθ /√(1 - sinθ ^2)}
= sinθ /√(1 - sinθ ^2)
= sinθ /√((cosθ)^2)
= sinθ / cosθ
= tanθ
tan(α+β)
= sin(α+β)/cos(α+β)
= ( sinα cosβ + cosα sinβ )/(cosαcosβ - sinαsinβ)
= ((sinα cosβ + cosα sinβ)/(cosαcosβ))/(1 - (sinαsinβ)/(cosαcosβ))
= ( sinα/cosα + sinβ/cosβ )/(1 - (sinα/cosα)(sinβ/cosβ))
= ( tanα + tanβ )/(1 - tanα tanβ )
sin(α+β)
= cos((α+β)-π/2)
= cos((α-π/2)+β)
= cos(α-π/2)cosβ - sin( α-π/2 )sinβ
= cos(α-π/2)cosβ + sin((α-π/2)+π)sinβ
= cos(α-π/2)cosβ + sin( α+π/2 )sinβ
= sin α cosβ + cos α sinβ