f(p, q) = 2 p^2 - q^2 とすると、
あらゆる正の整数 p, q について、
q が奇数のとき、
q = 2k+1 (k は 0 以上の整数) とおくと、
f(p, q)
= 2 p^2 - (2k+1)^2
= 2 p^2 - 4 k^2 - 4k - 1
= 2 (p^2 - 2 k^2 - 2k - 1) + 1
≠0
q が偶数 かつ p が奇数のとき、
q = 2k, p = 2h+1 (k, h は 0 以上の整数) とおくと、
f(p, q)
= 2 (2h+1)^2 - (2k)^2
= 2 ((2h+1)^2 - 2 k^2)
= 2 (4 h^2 + 4h - 2 k^2 + 1)
= 2 (2 (2 h^2 + 2h - k^2) + 1)
≠0
q が偶数 かつ p が偶数のとき、
f(p, q)
= 2 p^2 - q^2
= 4 (2 (p/2)^2 - (q/2)^2)
= 4 f(p/2, q/2)
整理すると、
p, q の両方ともが偶数のとき f(p, q) = 4 f(p/2, q/2)
p, q のいずれかが奇数のとき f(p, q) ≠0
ゆえに、あらゆる正の整数 a, b について、
f(a,b)＝4 f(a/2,b/2)＝‥＝4^(n-1) f(a/2^(n-1),b/2^(n-1))＝4^n f(a/2^n,b/2^n)
( n≧0。a,b,‥,a/2^(n-1),b/2^(n-1) は偶数。a/2^n, b/2^n のいずれかが奇数 )
4^n f(a/2^n, b/2^n)≠0 (∵ a/2^n, b/2^n のいずれかが奇数 )
よって、あらゆる正の整数 a, b について、
f(a, b) ≠ 0
2 a^2 - b^2 ≠ 0
2 a^2 ≠ b ^2
2 ≠(b/a)^2
√2 ≠ b/a
半径 r の球の上半分の半球の体積を求める。
半球を、高さ h/n の薄い円柱（円盤状の円柱） n 個で近似する。
内接する（円柱の上面が半球に接する）ように近似すると、
内接する円柱n個の体積の合計
= π(r^2-(1r/n)^2)(r/n)+π(r^2-(2r/n)^2)(r/n)+‥‥+π(r^2-(nr/n)^2)(r/n)
= π(r/n)^3 ((n^2 - 1^2) + (n^2 - 2^2) + ‥‥ + (n^2 - n^2))
= π(r/n)^3 (n・n^2 - (1^2 + 2^2 + ‥‥ + n^2))
= π(r/n)^3 (n^3 - (1/6) n (n + 1) (2n + 1))
= πr^3 (1 - (1/6) (1 + 1/n) (2 + 1/n))
外接する（円柱の下面が半球に接する）ように近似すると、
外接する円柱n個の体積の合計
= π(r^2-(0r/n)^2)(r/n)+π(r^2-(1r/n)^2)(r/n)+‥‥+π(r^2-((n-1)r/n)^2)(r/n)
= π(r/n)^3 ((n^2 - 0^2) + (n^2 - 1^2) + ‥‥ + (n^2 - (n-1)^2))
= π(r/n)^3 (n・n^2 - (0^2 + 1^2 + ‥‥ + (n-1)^2))
= π(r/n)^3 (n・n^2 - ( 1^2 + ‥‥ + (n-1)^2))
= π(r/n)^3 (n^3 - (1/6) (n-1) ((n-1) + 1) (2(n-1) + 1))
= π(r/n)^3 (n^3 - (1/6) (n - 1) n (2n - 1))
= πr^3 (1 - (1/6) (1 - 1/n) (2 - 1/n))
内接する円柱n個の体積の合計 ＜ 半球の体積 ＜ 外接する円柱n個の体積の合計
lim[n→∞]内接する円柱n個の体積の合計≦半球の体積
≦lim[n→∞]外接する円柱n個の体積の合計
lim[n→∞](πr^3 (1 - (1/6) (1 + 1/n) (2 + 1/n)))≦半球の体積
≦lim[n→∞](πr^3 (1 - (1/6) (1 - 1/n) (2 - 1/n)))
πr^3 (1 - (1/6) (1 + 0 ) (2 + 0 )) ≦半球の体積
≦ πr^3 (1 - (1/6) (1 - 0 ) (2 - 0 ))
πr^3 (1 - 1/3 ) ≦半球の体積
≦ πr^3 (1 - 1/3 )
(2/3)πr^3 ≦半球の体積
≦ (2/3)πr^3
半球の体積 = (2/3)πr^3
球の体積 = 半球の体積×2 = (2/3)πr^3×2 = (4/3)πr^3
半径 r , 高さ h の円錐を、高さ h/n の薄い円柱（円盤状の円柱） n 個で近似する。
内接する（円柱の上面が円錐に接する）ように近似すると、
内接する円柱n個の体積の合計
= π(r(0/n))^2 (h/n) + π(r(1/n))^2 (h/n) + ‥‥ + π(r((n-1)/n))^2 (h/n)
= πr^2 h (1/n^3) (0^2 + 1^2 + ‥‥ + (n-1)^2)
= πr^2 h (1/n^3) ( 1^2 + ‥‥ + (n-1)^2)
= πr^2 h (1/n^3) (1/6) (n-1) ((n-1) + 1) (2(n-1) + 1)
= πr^2 h (1/n^3) (1/6) (n - 1) n (2n - 1)
= (1/6)πr^2 h (1 - 1/n) (2 - 1/n)
外接する（円柱の下面が円錐に接する）ように近似すると、
外接する円柱n個の体積の合計
= π(r(1/n))^2 (h/n) + π(r(2/n))^2 (h/n) + ‥‥ + π(r(n/n))^2 (h/n)
= πr^2 h (1/n^3) (1^2 + 2^2 + ‥‥ + n^2)
= πr^2 h (1/n^3) (1/6) n (n + 1) (2n + 1)
= (1/6)πr^2 h (1 + 1/n) (2 + 1/n)
内接する円柱n個の体積の合計 ＜ 円錐の体積 ＜ 外接する円柱n個の体積の合計
lim[n→∞]内接する円柱n個の体積の合計≦円錐の体積
≦lim[n→∞]外接する円柱n個の体積の合計
lim[n→∞]((1/6)πr^2 h (1 - 1/n) (2 - 1/n))≦円錐の体積
≦lim[n→∞]((1/6)πr^2 h (1 + 1/n) (2 + 1/n))
(1/6)πr^2 h (1 - 0 ) (2 - 0 ) ≦円錐の体積
≦ (1/6)πr^2 h (1 + 0 ) (2 + 0 )
(1/3)πr^2 h ≦円錐の体積
≦ (1/3)πr^2 h
円錐の体積 = (1/3)πr^2 h
k^2 - (1/6) k (k + 1) (2k + 1)
= - (1/6) k (- 6k + (k + 1) (2k + 1))
= - (1/6) k (2 k^2 - 3k + 1)
= - (1/6) k (k - 1) (2k - 1)
= - (1/6) (k-1) k (2k - 1)
= - (1/6) (k-1) ((k-1) + 1) (2(k-1) + 1)
1^2 + 2^2 + ‥‥ + (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 - (1/6) n (n + 1) (2n + 1)
= 1^2 + 2^2 + ‥‥ + (n-2)^2 + (n-1)^2 - (1/6)(n-1)((n-1) + 1)(2(n-1) + 1)
= 1^2 + 2^2 + ‥‥ + (n-2)^2 - (1/6)(n-2)((n-2) + 1)(2(n-2) + 1)
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
= 1^2 + 2^2 - (1/6)2(2 + 1)(2・2 + 1)
= 1^2 - (1/6)1(1 + 1)(2・1 + 1) = 1 - 1 = 0
よって、
1^2 + 2^2 + ‥‥ + (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 = (1/6) n (n + 1) (2n + 1)
k - (1/2) k (k + 1)
= - (1/2) k (- 2 + (k + 1))
= - (1/2) k (k - 1)
= - (1/2) (k-1) k
= - (1/2) (k-1) ((k-1) + 1)
1 + 2 + ‥‥ + (n-2) + (n-1) + n - (1/2) n (n + 1)
= 1 + 2 + ‥‥ + (n-2) + (n-1) - (1/2) (n-1) ((n-1) + 1)
= 1 + 2 + ‥‥ + (n-2) - (1/2) (n-2) ((n-2) + 1)
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
= 1 + 2 - (1/2) 2 (2 + 1)
= 1 - (1/2) 1 (1 + 1) = 1 - 1 = 0
よって、
1 + 2 + ‥‥ + (n-2) + (n-1) + n = (1/2) n (n + 1)