半径 r の円の面積が π r^2 である理由

円周に内接する正n角形の外周の長さを f(n) とすると、

内接正n角形の面積
= 二等辺三角形の面積×n
= ({(f(n)/n) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}/2)×n
=  { f(n)    √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}/2
=   (f(n)/2) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)

外接正n角形は、
内接正n角形を r/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2) 倍に拡大したものだから、
外接正n角形の面積
= 内接正n角形の面積×{r/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}^2
= {(f(n)/2) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}×{r/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}^2
=  (f(n)/2) (r^2/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2))

曲線を折れ線で近似したときの折れ線の長さの、
折る箇所を無限に増やしたときの極限値が、曲線の長さだから、
lim[n→∞]f(n) = 2πr

  lim[n→∞]内接正n角形の面積
= lim[n→∞]{( f(n) /2) √(r^2 - (f(n)/(2n))^2)}
=            ((2πr)/2) √(r^2 -      0     ^2)
=               πr     √(r^2)
=               πr     ・ r
=               πr^2

  lim[n→∞]外接正n角形の面積
= lim[n→∞]{( f(n) /2) (r^2/√(r^2 - (f(n)/(2n))^2))}
=            ((2πr)/2) (r^2/√(r^2 -      0     ^2))
=               πr     (r^2/√(r^2))
=               πr     (r^2/   r   )
=               πr  ・  r
=               πr^2

          内接正n角形の面積＜円の面積＜          外接正n角形の面積
lim[n→∞]内接正n角形の面積≦円の面積≦lim[n→∞]外接正n角形の面積
                      πr^2≦円の面積≦πr^2
円の面積 = πr^2

円周率が 16 arctan(1/5) - 4 arctan(1/239) で求まる理由

tan(2θ)
= tan(θ+θ)
= (tanθ + tanθ)/(1 - tanθtanθ)
= (2 tanθ)/(1 - (tanθ)^2)

tan(2 arctan(1/5))
= (2 tan(arctan(1/5)))/(1 - (tan(arctan(1/5)))^2)
= (2 (1/5)))/(1 - (1/5)^2)
= (2・5)/(5^2 - 1)
= 10/(25 - 1)
= 10/24
= 5/12

tan(4 arctan(1/5))
= tan(2 (2 arctan(1/5)))
= (2 tan(2 arctan(1/5)))/(1 - (tan(2 arctan(1/5)))^2)
= (2 (5/12))/(1 - (5/12)^2)
= (2・5・12)/(12^2 - 5^2)
= 120/(144 - 25)
= 120/119

tan(4 arctan(1/5) - arctan(1/239))
= tan(4 arctan(1/5) + (- arctan(1/239)))
= (tan(4 arctan(1/5)) + tan(- arctan(1/239)))
     /(1 - tan(4 arctan(1/5)) tan(- arctan(1/239)))
= (tan(4 arctan(1/5)) - tan(arctan(1/239)))
     /(1 + tan(4 arctan(1/5)) tan(arctan(1/239)))
= (120/119 - 1/239)/(1 + (120/119) (1/239))
= (120・239 - 1・119)/(1・119・239 + 120・1)
= (28680 - 119)/(28441 + 120)
= 28561/28561
= 1
よって、
4 arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4 + πn (n は整数)
arctan(1) = π/4 より、
0 < arctan(1/5) < π/4 , - π/4 < - arctan(1/239) < 0 だから
- π/4 < 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) < π なので、
4 arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4

16 arctan(1/5) - 4 arctan(1/239)
= 4 (4 arctan(1/5) - arctan(1/239))
= 4 (π/4)
= π

0≦x＜1で arctan(x)が x - x^3/3 + x^5/5 - ‥‥ - (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1))で近似(誤差 x^(2n+1)/(2n+1) 以下)できる理由

f(x) = arctan(x) - (x - x^3/3 + x^5/5 - ‥‥ - (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1)))
とすると、
f'(x)
= d/dx (arctan(x) - x + x^3/3 - x^5/5 + ‥‥ + (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1)))
=  1/(1 + x^2)    - 1 + x^2   - x^4   + ‥‥ + (-1)^n  x^(2n-2)
= (1/(1 + x^2)){1 + (1 + x^2)(- 1 + x^2 - x^4 + ‥‥ + (-1)^n x^(2n-2)}
= (1/(1 + x^2)){1 - 1 - x^2 + x^2 + x^4 - x^4 - x^6 + ‥‥
                                     + (-1)^n x^(2n-2) + (-1)^n x^(2n)}
= (1/(1 + x^2)) (-1)^n x^(2n)
= (-1)^n (x^(2n)/(1 + x^2))

nが偶数の場合、
f'(x) = x^(2n)/(1 + x^2)
x≧0 のとき f'(x)≧0 より f(x) は横這いか増加だから、
x≧0 のとき f(x)≧f(0) = arctan(0) - 0 = 0 ‥‥‥ (1)
g(x) = x^(2n+1)/(2n+1) - f(x) とすると、
g'(x) = x^(2n) - f'(x) = x^(2n) - x^(2n)/(1 + x^2) = x^(2n+2)/(1 + x^2)
x≧0 のとき g'(x)≧0 より g(x) は横這いか増加だから、
x≧0 のとき g(x)≧g(0) = 0 - f(0) = 0 - (arctan(0) - 0) = 0
すなわち、x^(2n+1)/(2n+1)≧f(x)  ‥‥‥‥‥‥‥‥ (2)
(1)(2)より、x≧0 のとき 0≦f(x)≦x^(2n+1)/(2n+1)

nが奇数の場合、
f'(x) = - x^(2n)/(1 + x^2)
x≧0 のとき f'(x)≦0 より f(x) は横這いか減少だから、
x≧0 のとき f(x)≦f(0) = arctan(0) - 0 = 0 ‥‥‥ (3)
h(x) = - x^(2n+1)/(2n+1) - f(x) とすると、
h'(x) = - x^(2n) - f'(x) = - x^(2n) + x^(2n)/(1 + x^2) = - x^(2n+2)/(1 + x^2)
x≧0 のとき h'(x)≦0 より h(x) は横這いか減少だから、
x≧0 のとき h(x)≦h(0) = - 0 - f(0) = - 0 - (arctan(0) - 0) = 0
すなわち、- x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)  ‥‥‥‥‥‥‥ (4)
(3)(4)より、x≧0 のとき - x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)≦0

整理すると、x≧0 のとき、
nが偶数の場合、0≦f(x)≦x^(2n+1)/(2n+1)
nが奇数の場合、- x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)≦0
統合すると、x≧0 のとき、
- x^(2n+1)/(2n+1)≦f(x)≦x^(2n+1)/(2n+1)
すわなち、|f(x)|≦x^(2n+1)/(2n+1)

0≦x＜1 のとき、
lim[n→∞]|f(x)|≦lim[n→∞](x^(2n+1)/(2n+1)) = 0 より、
lim[n→∞]|f(x)| = 0 となり、誤差は 0 に収束する。
これが、
arctan(x) が x - x^3/3 + x^5/5 - ‥‥ - (-1)^n (x^(2n-1)/(2n-1))
で近似できる理由。
そのとき誤差は x^(2n+1)/(2n+1) 以下。

d/dx arctan(x) = 1/(1 + x^2) となる理由

f(x) = arctan(x), g(x) = tan(x) とすると、
d/dx arctan(x)
= f'(x)
= 1/g'(f(x))  (∵ g(f(x)) = x のとき、f'(x) = 1/g'(f(x)) )
= 1/(               1               /(cos(f(x)))^2)
= 1/(((cos(f(x)))^2 + (sin(f(x)))^2)/(cos(f(x)))^2)
= 1/(       1       + (sin(f(x))/cos(f(x)))^2)
= 1/(       1       + (tan(f(x))     )^2)
= 1/(       1       + (tan(arctan(x)))^2)
= 1/(       1       +        x        ^2)

d/dx tan(x) = 1/(cos(x))^2 となる理由

f(x) = sin(x), g(x) = cos(x) とすると、
d/dx tan(x)
= d/dx (sin(x)/cos(x))
= d/dx (f(x)/g(x))
= ( f'(x)   g(x) -   f(x)     g'(x) )/(  g(x))^2
= (cos(x) cos(x) - sin(x) (- sin(x)))/(cos(x))^2
= ((cos(x))^2    + (sin(x))^2       )/(cos(x))^2
=                1                   /(cos(x))^2

d/dx cos(x) = - sin(x) となる理由

f(y) = sin(y), g(x) = x + π/2 とすると、
d/dx cos(x)
= d/dx sin(x + π/2)
= d/dx sin(g(x))
= d/dx f(g(x))
= f’(g(x)) g'(x)  (∵ d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) )
= cos(g(x)) g'(x)
= cos(x + π/2)・1
= - sin(x)

d/dx sin(x) = cos(x) となる理由

  sin(α+β)                  - sin(α-β)
= sin(α+β)                  - sin(α+(-β))
= (sinα cosβ + cosα sinβ) - (sinα cos(-β) + cosα sin(-β))
= (sinα cosβ + cosα sinβ) - (sinα cosβ    - cosα sinβ   )
= 2 cosα sinβ

0＜θ＜π/2 のとき、
θ≦tanθ
θ≦sinθ/cosθ
cosθ≦sinθ/θ
sinθ≦θより、sinθ/θ≦1 だから、
cosθ≦sinθ/θ≦1
lim[θ→0]cosθ ≦lim[θ→0](sinθ/θ)≦lim[θ→0] 1
          cos(0)≦lim[θ→0](sinθ/θ)≦           1
            1   ≦lim[θ→0](sinθ/θ)≦           1
lim[θ→0](sinθ/θ)＝1

d/dx sin(x)
= lim[ h→0]((sin(x + h) - sin(x))/h)
= lim[ h→0]((sin((x + h/2) + h/2) - sin((x + h/2) - h/2))/h)
= lim[ h→0]((2 cos(x + h/2) sin(h/2))/h)
                    (∵ sin(α+β) - sin(α-β) = 2 cosα sinβ )
= lim[ h→0]((cos(x + h/2) sin(h/2))/(h/2))
= lim[θ→0]((cos(x + θ) sinθ)/θ )
= lim[θ→0]( cos(x + θ) (sinθ/θ))
= cos(x + 0)・1     (∵ lim[θ→0](sinθ/θ)＝1 )
= cos(x)

0＜θ＜π/2 のとき θ≦tanθ と言える理由

h ＝sinθ/n とすると、

中心が (0,0) の円弧 (1,0)-(cosθ,sinθ) の長さは、
折れ線で近似したときの折れ線の長さの、折る箇所を無限に増やしたときの
極限値だから、
θ
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + {√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)}^2)

k≧1 のとき、
 √(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)
＝{(1-((k-1)h)^2) -   (1-(kh)^2)}/{√(1-((k-1)h)^2) + √(1-(kh)^2)}
＝{ - ((k-1)h)^2  +      (kh)^2 }/{√(1-((k-1)h)^2) + √(1-(kh)^2)}
＝(2k-1) h^2/{√(1-((k-1)h)^2) + √(1-(kh)^2)}
≦ 2k    h^2/{√(1-( k   h)^2) + √(1-(kh)^2)}  (∵ k≧1 )
＝ 2k    h^2/{2 √(1-(kh)^2)}
＝  k    h^2/   √(1-(kh)^2)
√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2) ≧ 0 より、
{√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)}^2 ≦ {k h^2/√(1-(kh)^2)}^2

よって、
θ
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + {√(1-((k-1)h)^2) - √(1-(kh)^2)}^2)
≦lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 + {k h^2/√(1-(kh)^2)}^2)
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]√(h^2 +  k^2 h^4/(1-(kh)^2))
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]{h √(1 + k^2 h^2/(1-(kh)^2))}
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]{h √({(1-(kh)^2) + k^2 h^2}/(1-(kh)^2))}
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]{h √(  1                   /(1-(kh)^2))}
＝lim[n→∞]∑[k=1,n]{h  /√(1 - (k  h  )^2)}
≦lim[n→∞]∑[k=1,n]{h  /√(1 - (n  h  )^2)}
＝lim[n→∞]{n        h  /√(1 - (n  h  )^2)}
＝lim[n→∞]{n(sinθ/n)/√(1 - (n(sinθ/n))^2)}
＝lim[n→∞]{  sinθ   /√(1 -    sinθ    ^2)}
＝             sinθ   /√(1 -    sinθ    ^2)
＝             sinθ   /√((cosθ)^2)
＝             sinθ   /    cosθ
＝             tanθ

tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanα tanβ) となる理由

tan(α+β)
= sin(α+β)/cos(α+β)
= ( sinα cosβ + cosα sinβ              )/(cosαcosβ - sinαsinβ)
= ((sinα cosβ + cosα sinβ)/(cosαcosβ))/(1 - (sinαsinβ)/(cosαcosβ))
= ( sinα/cosα + sinβ/cosβ              )/(1 - (sinα/cosα)(sinβ/cosβ))
= ( tanα       + tanβ                    )/(1 -  tanα        tanβ       )

sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ となる理由

sin(α+β)
= cos((α+β)-π/2)
= cos((α-π/2)+β)
= cos(α-π/2)cosβ - sin( α-π/2    )sinβ
= cos(α-π/2)cosβ + sin((α-π/2)+π)sinβ
= cos(α-π/2)cosβ + sin( α+π/2    )sinβ
= sin α      cosβ + cos  α          sinβ

cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ となる理由

0＜α-β＜π/2 のとき、
図形に着目すると、
AB^2
= HA^2 + HB^2
= HA^2 + (OB - OH)^2
= (sin(α-β))^2 + (1 - cos(α-β))^2
= (sin(α-β))^2 + (1 - 2 cos(α-β) + (cos(α-β))^2)
= ((sin(α-β))^2 + (cos(α-β))^2) + 1 - 2 cos(α-β)
=  1                                + 1 - 2 cos(α-β)
=  2 - 2 cos(α-β) ‥‥‥ (1)
座標に着目すると、
AB^2
= (cosα - cosβ)^2 + (sinα - sinβ)^2
= ((cosα)^2 - 2 cosαcosβ + (cosβ)^2) + ((sinα)^2 - 2 sinαsinβ + (sinβ)^2)
= ((cosα)^2 + (sinα)^2) + ((cosβ)^2 + (sinβ)^2) - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ)
=  1                      +  1                      - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ)
=  2 - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ) ‥‥‥ (2)
(1)(2)より、
2 - 2 cos(α-β) = 2 - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ)
よって、
0＜α-β＜π/2 のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (3)

α-β = 0 のとき、
cos(α-β)
= cos(0)
= 1
= (cosα)^2 + (sinα)^2
= cosαcosα + sinαsinα
= cosαcos(β+(α-β)) + sinαsin(β+(α-β))
= cosαcos(β+ 0     ) + sinαsin(β+ 0     )  (∵ α-β = 0 )
= cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (4)

α-β = π/2 のとき、
cos(α-β)
= cos(π/2)
= 0
= cosαsin α          - cosα   sin α
= cosαsin α          - sinα   cos α
= cosαsin(β+(α-β)) - sinα   cos(β+(α-β))
= cosαsin(β+ π/2  ) - sinα   cos(β+ π/2  )  (∵ α-β = π/2 )
= cosαcosβ           - sinα(- sin β         )
= cosαcosβ           + sinα   sin β ‥‥‥ (5)

(3)(4)(5)を統合すると、
0≦α-β≦π/2 のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (6)

π/2≦α-β≦π のとき、
cos(α-β)
=   cos( β-α    )
= - cos((β-α)+π)
= - cos((β+π)-α)
= - (cos(β+π)cosα + sin(β+π)sinα)  (∵ 0≦(β+π)-α≦π/2 )
= - ((- cosβ )cosα + (- sinβ )sinα)
= - (-  cosβ  cosα -    sinβ  sinα)
=       cosβ  cosα +    sinβ  sinα
=       cosαcosβ   +    sinαsinβ ‥‥‥ (7)

(6)(7)を統合すると、
0≦α-β≦π のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (8)

π≦α-β≦2π のとき、
cos(α-β)
= cos( β-α     )
= cos((β-α)+2π)
= cos((β+2π)-α)
= cos(β+2π)cosα + sin(β+2π)sinα  (∵ 0≦(β+2π)-α≦π )
= cos β     cosα + sin β     sinα
= cosαcosβ       + sinαsinβ ‥‥‥ (9)

(8)(9)を統合すると、
0≦α-β≦2π のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (8)

nを整数とすると、
2πn≦α-β≦2π(n+1) のとき、
cos(α-β)
= cos((α-β)-2πn)
= cos((α-2πn)-β)
= cos(α-2πn)cosβ + sin(α-2πn)sinβ  (∵ 0≦(α-2πn)-β≦2π )
= cos α      cosβ + sin α      sinβ

すべての n について統合すると、
α-βがどんな値のときも、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ

cos(α+β)
= cos(α-(-β))
= cosαcos(-β) + sinαsin(-β)
= cosαcos  β  - sinαsin  β

三平方の定理(ピタゴラスの定理)が成り立つ理由

PB = QC = RD = SA = a ,
BQ = CR = DS = AP = b ,
PQ = QR = RS = SP = c
とすると、
正方形ABCDの面積 = 正方形PQRSの面積 + 直角三角形の面積×4 だから、
(a + b)^2        = c^2              + (ab/2)          ×4
よって、
a^2 + b^2 = c^2

∫[g(a)→g(b)] f(t) dt = ∫[a→b] f(g(u)) g'(u) du となる理由

f(t) = F'(t) とすると、
  ∫[g(a)→g(b)] f (t) dt
= ∫[g(a)→g(b)] F'(t) dt
= F(g(b)) - F(g(a))
= ∫[a→b] (d/du F(g(u))) du
= ∫[a→b] F'(g(u)) g'(u) du
= ∫[a→b] f (g(u)) g'(u) du

d/dx (f(x)/g(x)) = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x))/(g(x)^2) となる理由

d/dx (f(x)/g(x))
= lim[h→0]((f(x+h)/g(x+h)            - f(x)/g(x)               )/ h             )
= lim[h→0]((f(x+h) g(x)              - f(x) g(x+h)             )/(h g(x+h) g(x)))
= lim[h→0]((f(x+h) g(x) - f(x) g(x)  - f(x) g(x+h) + f(x) g(x) )/(h g(x+h) g(x)))
= lim[h→0]((( f(x+h) - f(x))    g(x) - f(x) ( g(x+h) - g(x))   )/(h g(x+h) g(x)))
= lim[h→0]((((f(x+h) - f(x))/h) g(x) - f(x) ((g(x+h) - g(x))/h))/(g(x+h) g(x)))
=          (   f'(x)             g(x) - f(x)   g'(x)            )/(g(x+0) g(x))
=          (   f'(x)             g(x) - f(x)   g'(x)            )/(g(x))^2

d/dx (f(x) g(x)) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) となる理由

d/dx (f(x) g(x))
= lim[h→0]((f(x+h) g(x+h)                             - f(x) g(x))/h)
= lim[h→0]((f(x+h) g(x+h) - f(x) g(x+h) + f(x) g(x+h) - f(x) g(x))/h)
= lim[h→0](((f(x+h) - f(x))    g(x+h)   + f(x)  (g(x+h) - g(x))  )/h)
= lim[h→0](((f(x+h) - f(x))/h) g(x+h)   + f(x) ((g(x+h) - g(x))/h)  )
=             f'(x)             g(x+0)   + f(x)   g'(x)
=             f'(x)             g(x  )   + f(x)   g'(x)