0＜α-β＜π/2 のとき、
図形に着目すると、
AB^2
= HA^2 + HB^2
= HA^2 + (OB - OH)^2
= (sin(α-β))^2 + (1 - cos(α-β))^2
= (sin(α-β))^2 + (1 - 2 cos(α-β) + (cos(α-β))^2)
= ((sin(α-β))^2 + (cos(α-β))^2) + 1 - 2 cos(α-β)
= 1 + 1 - 2 cos(α-β)
= 2 - 2 cos(α-β) ‥‥‥ (1)
座標に着目すると、
AB^2
= (cosα - cosβ)^2 + (sinα - sinβ)^2
= ((cosα)^2 - 2 cosαcosβ + (cosβ)^2) + ((sinα)^2 - 2 sinαsinβ + (sinβ)^2)
= ((cosα)^2 + (sinα)^2) + ((cosβ)^2 + (sinβ)^2) - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ)
= 1 + 1 - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ)
= 2 - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ) ‥‥‥ (2)
(1)(2)より、
2 - 2 cos(α-β) = 2 - 2 (cosαcosβ + sinαsinβ)
よって、
0＜α-β＜π/2 のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (3)
α-β = 0 のとき、
cos(α-β)
= cos(0)
= 1
= (cosα)^2 + (sinα)^2
= cosαcosα + sinαsinα
= cosαcos(β+(α-β)) + sinαsin(β+(α-β))
= cosαcos(β+ 0 ) + sinαsin(β+ 0 ) (∵ α-β = 0 )
= cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (4)
α-β = π/2 のとき、
cos(α-β)
= cos(π/2)
= 0
= cosαsin α - cosα sin α
= cosαsin α - sinα cos α
= cosαsin(β+(α-β)) - sinα cos(β+(α-β))
= cosαsin(β+ π/2 ) - sinα cos(β+ π/2 ) (∵ α-β = π/2 )
= cosαcosβ - sinα(- sin β )
= cosαcosβ + sinα sin β ‥‥‥ (5)
(3)(4)(5)を統合すると、
0≦α-β≦π/2 のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (6)
π/2≦α-β≦π のとき、
cos(α-β)
= cos( β-α )
= - cos((β-α)+π)
= - cos((β+π)-α)
= - (cos(β+π)cosα + sin(β+π)sinα) (∵ 0≦(β+π)-α≦π/2 )
= - ((- cosβ )cosα + (- sinβ )sinα)
= - (- cosβ cosα - sinβ sinα)
= cosβ cosα + sinβ sinα
= cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (7)
(6)(7)を統合すると、
0≦α-β≦π のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (8)
π≦α-β≦2π のとき、
cos(α-β)
= cos( β-α )
= cos((β-α)+2π)
= cos((β+2π)-α)
= cos(β+2π)cosα + sin(β+2π)sinα (∵ 0≦(β+2π)-α≦π )
= cos β cosα + sin β sinα
= cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (9)
(8)(9)を統合すると、
0≦α-β≦2π のとき、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ ‥‥‥ (8)
nを整数とすると、
2πn≦α-β≦2π(n+1) のとき、
cos(α-β)
= cos((α-β)-2πn)
= cos((α-2πn)-β)
= cos(α-2πn)cosβ + sin(α-2πn)sinβ (∵ 0≦(α-2πn)-β≦2π )
= cos α cosβ + sin α sinβ
すべての n について統合すると、
α-βがどんな値のときも、cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ
cos(α+β)
= cos(α-(-β))
= cosαcos(-β) + sinαsin(-β)
= cosαcos β - sinαsin β
