n が整数のとき、d/dx x^n = n x^(n - 1) となる理由

m が正の整数のとき、

lim[h→0](((x+h)^m - x^m)/h)
= lim[h→0]((((x+h) - x)
                  ((x+h)^(m-1) x^0 + (x+h)^(m-2) x^1 + ‥‥
                        + (x+h)^1 x^(m-2) + (x+h)^0 x^(m-1)))/h)
= lim[h→0]((x+h)^(m-1) x^0 + (x+h)^(m-2) x^1 + ‥‥
                 + (x+h)^1 x^(m-2) + (x+h)^0 x^(m-1))
=           (x+0)^(m-1) x^0 + (x+0)^(m-2) x^1 + ‥‥
                 + (x+0)^1 x^(m-2) + (x+0)^0 x^(m-1)
= x^(m-1) x^0 + x^(m-2) x^1 + ‥‥ + x^1 x^(m-2) + x^0 x^(m-1)
= m x^(m - 1)

d/dx x^m
= lim[h→0](((x+h)^m - x^m)/h)
= m x^(m - 1)

d/dx x^(-m)
= d/dx (1/x^m)
= lim[h→0](((1/(x+h)^m) - (1/x^m))/h)
= lim[h→0]((x^m - (x+h)^m)/((x+h)^m x^m h))
= lim[h→0](- ((x+h)^m - x^m)/((x+h)^m x^m h))
= - lim[h→0](((x+h)^m - x^m)/h)/lim[h→0]((x+h)^m x^m)
= - m x^(m-1)/(x^m x^m)
= (-m) x^((-m) - 1)

d/dx x^0
= d/dx 1
= lim[h→0]((1 - 1)/h)
= lim[h→0](0/h)
= lim[h→0] 0
= 0
= 0 x^(0 - 1)

整理すると、
m が正の整数のとき、
d/dx x^  m  =   m  x^(  m  - 1)
d/dx x^(-m) = (-m) x^((-m) - 1)
d/dx x^  0  =   0  x^(  0  - 1)

これが、
n が整数のとき、
d/dx x^  n  =   n  x^(  n  - 1)
となる理由。